Davis E. - Świat matematyki.pdf

(12597 KB) Pobierz
Philip J. Davis, Reuben Hersh
Elena Anne Marchisotto »
W y d a w n i c t w o N a u k o w e PWN
SPIS TREŚCI
Przedmowa
Przedmowa do wydania drugiego
Wprowadzenie
Uwertura
1. Pejzaż matematyczny
Co to jest m atem atyka?
Gdzie znajduje się matem atyka?
Społeczność matem atyczna
N arzędzia rzemiosła
Jaka część m atem atyki jest obecnie znana?
Dylemat U lam a
Ile może być m atem atyki?
D odatek A — K rótka tablica chronologiczna do roku 1910
D odatek B — Porów nanie klasyfikacji m atematyki z lat 1868
i 1979
Problemy i zadania
2. Różnorodność doświadczenia matematycznego
Świadomość powszechna, indywidualna i zbiorowa
Idealny m atem atyk
Fizyk patrzy na m atem atykę
I. R. Szafarewicz i nowy neoplatonizm
Nieortodoksyjność
Jednostka a kultura
Problemy i zadania
3. Problemy zewnętrzne
Dlaczego m atem atyka jest skuteczna? — Odpowiedź kon-
wencjonalisty
M odele m atematyczne
Użyteczność
1. Rozm aitość m atematycznych użytków
2. O użyteczności matem atyki dla matem atyki
3. O użyteczności matem atyki dla innych dziedzin nauko­
wych i technicznych
4. M atem atyka czysta a stosowana
9
11
13
15
19
19
21
21
24
28
31
34
35
37
38
41
41
42
51
57
59
64
68
73
73
81
83
83
84
86
88
90
.
5. Od hardyizmu do matematycznego maoizmu
5
i
Spis treści
Pod listkiem figowym
1. M atem atyka na rynku
2. M atem atyka a wojna
3. Mistycyzm liczbowy
4. G eom etria hermetyczna
5. Astrologia
6. Religia
A bstrakcja i teologia scholastyczna
Problemy i zadania
4. Problemy wewnętrzne
Symbole
A bstrakcja
Uogólnienie
Form alizacja
Obiekty i struktury matematyczne; istnienie
Dowód
Nieskończoność, róg obfitości m atematyki
N apięta struna
M oneta Tyche
Składnik estetyczny
W zór, ład i chaos
M atem atyka algorytmiczna a dialektyczna
Dążenie do ogólności i abstrakcji. Chińskie twierdzenie o re­
sztach — studium przypadku
M atem atyka jako enigma
Jedność w różnorodności
Problemy i zadania
5. Wybrane rozdziały matematyki
Teoria grup i klasyfikacja skończonych grup prostych
Twierdzenie o liczbach pierwszych
G eom etria nieeuklidesowa
Niecantorow ska teoria mnogości
D odatek A - M etoda przekątniowa C antora
Analiza niestandardow a
Analiza Fouriera
Problemy i zadania
6. Nauczanie i uczenie się
W yznania nauczyciela m atematyki
Klasyczny kryzys rozumienia i dydaktyki
Pólya’i rzemiosło odkrywania
Tworzenie nowej m atematyki: Zastosowanie heurystyki
Lakatosa
Estetyka porównawcza
Nieanalityczne aspekty m atem atyki
Problemy i zadania
91
92
94
97
100
101
Spis treści
7. Od pewności do omylności
Platonizm, formalizm, konstruktywizm
Filozoficzne poglądy aktywnego m atem atyka
M it euklidesowy
Podstawy — znalezione i utracone
Form alistyczna filozofia m atem atyki
Lakatos i filozofia powątpiewania
Problemy i zadania
8. Rzeczywistość matematyczna
124
124
127
134
135
140
145
150
155
159
164
167
174
180
187
190
191
198
199
204
210
108
112
309
309
311
312
319
326
332
345
349
349
355
360
365
371
374
382
387
392
395
399
411
117
Hipoteza Riem anna
7t a
n
Modele matematyczne, kom putery i platonizm
Dlaczego mam wierzyć kom puterow i?
Klasyfikacja skończonych grup prostych
Intuicja
Intuicja 4-wymiarowa
Praw da o obiektach wyimaginowanych
Problemy i zadania
Glosariusz
Bibliografia
Skorowidz
216
229
229
245
260
266
266
268
277
282
288
290
305
6
PRZEDMOWA
Najstarsze tabliczki matematyczne, jakie do nas dotrwały, są
datow ane na rok 2400 przed Chr., nie ma wszakże powodu
wątpić, że bodźce do tworzenia i stosowania matematyki ist­
niały od początku cywilizacji. W okresie czterech czy pięciu
tysiącleci pojawiły się pewne m etody i pojęcia powiązane z na­
szym życiem codziennym, a znane jako m atematyka. Jaka jest
natura tej m atem atyki? Jakie jest jej znaczenie? Czym są jej
obiekty? Jaka jest jej m etodologia? Jak się ją tworzy? Jak się ją
stosuje? Jak się ona zgadza z mnogością ludzkich doświadczeń?
Jakie z niej płyną korzyści? Jakie przynosi szkody? Jakie
można jej przypisywać znaczenie?
Odpowiedzi na te trudne pytania wcale nie ułatwia fakt, iż
m ateriał jest tak obszerny, a mnogość powiązań tak duża, że
pojedynczy człowiek zwyczajnie nie jest w stanie pojąć tego
wszystkiego, a tym bardziej streścić i zawrzeć to streszczenie
między okładkam i książki przeciętnej wielkości. Aby się zatem
tej wielkiej ilości m ateriału nie przestraszyć, pomyślmy o m ate­
matyce inaczej. M atem atyka była przedmiotem ludzkiej aktyw­
ności od tysięcy lat. W pewnym niewielkim stopniu m atem aty­
kiem jest każdy z nas i każdy m atem atykę świadomie uprawia.
Kupowanie na rynku, odmierzanie pasa tapety czy nakładanie
regularnych wzorów na ceramikę jest uprawianiem m atem aty­
ki. Co więcej, w pewnym niewielkim stopniu każdy jest także
filozofem m atem atyki. K om u zdarza się krzyknąć „Przecież
liczby nie kłamią!” — staje w jednym szeregu z Platonem
i Lakatosem.
Uzupełnieniem sporej populacji tych, którzy stosują m ate­
matykę na skrom ną skalę, jest niewielka grupa ludzi będących
zawodowymi m atem atykam i. Uprawiają oni matematykę, roz­
wijają ją, uczą jej, tworzą i stosują w wielu różnych sytuacjach.
Powinna istnieć możliwość objaśnienia nieprofesjonalistom, co
ci ludzie upraw iają, jak o tym mówią i dlaczego reszta świata
powinna wspierać ich wysiłki. Takie w skrócie zadanie sobie
postawiliśmy. Książka nie zamierza przedstawiać w sposób
systematyczny i wyczerpujący żadnego fragm entu matematyki
współczesnej czy klasycznej. Zmierza ona natom iast do przed-
Przedmowa
stawienia istoty m atem atyki, jej historii i filozofii, a także tego,
jak powstaje wiedza matematyczna. Jej celem jest raczej uchwy­
cenie różnorodności doświadczenia matematycznego. Książka
nie powinna być traktow ana jako kom presja, lecz raczej jako
impresja. To nie jest książka m atematyczna, ale o matematyce.
Podobnie nie jest to książka historyczna czy filozoficzna,
aczkolwiek będziemy omawiać i historię, i filozofię m atem aty­
ki. W ynika stąd, że czytelnik powinien posiadać niewielką
wstępną wiedzę o tych sprawach, a także ziarenko zaintereso­
wania, które m ożna by pielęgnować. Dysponując takim opar­
ciem, przeciętny czytelnik nie powinien mieć żadnych trudności
z przebrnięciem przez większą część książki. W niektórych
jednak miejscach wprowadziliśmy tem aty specjalne, zwracając
się do specjalisty, który m atem atykę stosuje lub tworzy. Wtedy
czytelnik może się czuć jak gość zaproszony na rodzinny obiad.
Kiedy po uprzejmej rozmowie na ogólne tem aty rodzina kieru­
je uwagę na sprawy ją ściśle obchodzące, swoje radości i troski,
gość pozostawiony jest samemu sobie, choć zafrapowany.
W takich miejscach czytelnik postąpi słusznie, jeśli niefrasob­
liwie przyspieszy.
Większość esejów tej książki może być czytana niezależnie od
pozostałych.
W książce pisanej przez dwóch ludzi niezbędny jest pewien
kom entarz związany z używaniem słówka „ja” . W niektórych
przypadkach będzie oczywiste, który z autorów owo „ja” pisał.
W żadnym jednak przypadku błędna identyfikacja nie przynie­
sie większej szkody, każdy bowiem z autorów w zasadzie
podziela poglądy drugiego.
PRZEDMOWA DO WYDANIA DRUGIEGO
Pierwsze wydanie
Świata matematyki
ukazało się w 1981
roku*. W owym czasie, a więc zaledwie kilkanaście lat temu,
panowało powszechne przekonanie, że przybliżenie współczes­
nej m atem atyki inteligentnemu niematematykowi jest niemoż­
liwe. O d tego czasu opublikow ano jednak wiele popularnych
książek o m atem atyce współczesnej, a
Chaos
Jamesa Gleicka
okazał się nawet trwałym bestsellerem**.
Banałem jest stwierdzenie, że w technice i wynalazczości
wiedza o tym, co jest możliwe, to najważniejszy składnik
powodzenia innowacji. Być może pierwsze wydanie
Świata
matematyki
zmieniło poglądy ludzi na granice możliwości
przedstawiania zaawansowanej m atem atyki współczesnej.
Uważni czytelnicy uznali tę książkę za pracę filozoficzną
z zakresu humanistycznej filozofii m atematyki. Była niezwykła,
„dysydencka” (Philip Kitcher), w istocie bez kontaktu z oficjal­
ną, akadem icką filozofią m atematyki. W ciągu wszakże ostat­
nich piętnastu lat hum anistyczna filozofia m atematyki rozkw it­
ła, są już antologie, sympozja, czasopismo. Ówczesny odsz-
czepieniec może w najbliższych latach znaleźć się w głównym
nurcie.
Pierwsze wydanie
Świata matematyki
było książką popular­
ną, dostępną w księgarniach, a nie podręcznikiem, oferowanym
profesorom . Otrzymujemy jednak stale sygnały, że posługują
się nią nauczyciele college’ów w Stanach Zjednoczonych, E uro­
pie, Australii, Hongkongu, Izraelu. Używa się jej w dwojaki
sposób: w uczelniach ogólnokształcących jako „m atem atyki
dla hum anistów ” oraz w uczelniach kształcących przyszłych
nauczycieli m atem atyki, zwłaszcza dla szkół średnich.
Przy nauczaniu m atem atyki powszechnie zakłada się, że tej
dyscypliny nie m ożna uprawiać biernie, uczy się jej bowiem
przez ćwiczenie, zwłaszcza rozwiązywanie zadań. Jak wszystkie
* A utorzy m ają oczywiście na myśli wydanie angielskie. Pierwsze wydanie
polskie ukazało się w 1994 r.
(przyp. tłum.).
** Wyszedł i w Polsce: James Gleick,
Chaos. Narodziny nowej nauki,
Zysk
i S-ka, Poznań 1996
(przyp. tłum.).
11

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin