RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i Y

stosujemy podstawienie   ==>  

po zróżniczkowaniu   i po podstawieniu do równania

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

Przypadek I : a1b2 – b1a2 ¹ 0

Wtedy układ równań ma jedno rozwiązanie x=a i y=b

Wprowadzamy nowe zmienne :  x - a = u;     y - b = v

Równanie różniczkowe przekształci się na :

Za v podstawiamy =>              Rozdzielamy zmienne i całkujemy.

Przypadek II : a1b2 – b1a2 = 0

współczynnik proporcjonalności :

wprowadzamy nową zmienną : => po różniczce

po uwzględnieniu wzorów równanie przyjmie postać :

rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE

rozwiązujemy tzw. metodą uzmienniania stałej.

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

Całką tego równania jest

Teraz stałą C zastępujemy funkcją i mamy

Obliczamy z tego pochodną : podstawiamy, redukujemy i liczymy

PRZYKŁAD :

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne (przez rozdzielenie zmiennych)

Wynikiem jest gdzie

uwalniając się od logarytmów mamy

uzmienniamy stałą C1 :            (**)

obliczamy pochodną :

wartości y i y` wstawiamy do pierwszego równania

skąd po redukcji otrzymamy czyli

  podstawiamy to do równania (**) otrzymując końcowy wynik

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

Przewidzenie : y1 = meCx  lub  y1 = (mx+n)eCx

PRZYKŁAD

Przewidujemy :

Obliczamy z tego pochodną

Wartości i podstawiamy do pierwszego równania :

Skąd po uproszczeniu przez e3x znajdujemy m=2

Podstawiając m do równania na otrzymujemy

Obliczamy teraz całkę ogólną równania uproszczonego :

Po rozwiązaniu mamy :

Całka ogólna całego równania to y1+y2 czyli

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU gdzie a jest liczbą stałą, a Wn(x) jest wielomianem stopnia n

PRZYKŁAD:

Przewidzenie :   

Obliczamy pochodną

Podstawiamy powyższe wartości do pierwszego równania:

Przyrównując współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x otrzymujemy związki:

2a=1; 2a+2b=0; b+2c=0; z tego mamy :

Rozwiązujemy teraz równanie jednorodne i z tego mamy

Całka ogólna ma więc postać y1 + y2 tj.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

PRZEWIDZENIE :

PRZYKŁAD

Przewidujemy :

Obliczamy z tego pochodną :

Wstawiamy to do pierwszej równości :

Obliczamy n i m i mamy

Obliczamy równanie jednorodne z czego mamy

No i całka ogólna ma postać :

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE INNYCH TYPÓW

PRZYKŁAD 1

PRZEWIDZENIE :

Obliczamy pochodną

wstawiamy to do równania pierwszego i dzielimy od razu przez e3x,

otrzymujemy :

znajdujemy a,b,c i mamy

Liczymy całkę ogólną równania jednorodnego i mamy ostatecznie

PRZYKŁAD 2

PRZEWIDUJEMY :

Liczymy pochodną :

Wstawiamy to do pierwszego równania i mamy równanie, obliczamy współczynniki

liczymy całkę ogólną równania jednorodnego i ostatecznie mamy :

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU DRUGIEGO

TYP :

Podstawienie :

PRZYKŁAD

Robimy podstawienie : i otrzymujemy

rozdzielamy zmienne skąd mamy lnp = ln(1+x) +lnC, a wiec

to znaczy czyli

ostatecznie otrzymujemy

TYP :

Podstawienie :

wówczas a równanie przekształci się na równanie rzędu pierwszego

PRZYKŁAD :