abc.wektory.pdf

(77 KB) Pobierz
ABC matematyki dla początkujących fizyków.
Algebra wektorów
wektor w układzie współrzędnych kartezjańskich
dodawanie (odejmowanie)
wektorowy
iloczyny wielokrotne
użyteczne tożsamości
iloczyn skalarny
iloczyn
być zwykły układ kartezjański (x,
y, z)
1
. Aby jednoznacz-
nie określić wektor w przestrzeni wystarczy podać wartości
Jest oczywiste, że dla opisu szeregu wielkości fizycznych jego prostopadłych rzutów na osie układu. Te rzuty nazy-
nie wystarczy podanie wartosci liczbowej danej wielkości wamy
składowymi wektora.
Ilustruje to powyższy rysunek
ale należy określić również jej kierunek w przestrzeni oraz (przykładowo dla układu płaskiego). Zwróć uwagę, że w
zwrot (takimi są przykładowo wielkości: prędkość, siła, mo- tym przykładzie obie składowe
a
x
, a
y
wektora
a
są dodat-
ment pędu, natężenie pola elektrycznego, ... etc.). Mówimy nie, natomiast wektor
b
ma ujemną składową
b
y
i dodatnią
wtedy o nich: wielkości wektorowe lub
wektory,
w odróżnie-
b
x
(objaśnij dlaczego!).
niu od wielkości
skalarnych,
dla których kierunek nie jest
istotny (np. masa, temperatura, praca, ...).
Składowe jednoznacznie określają wektor:
a
≡
(a
x
, a
y
) (w płaskim układzie współrzędnych),
W zapisie, dla zaznaczenia, że dana wielkość jest wektorem,
a
≡
(a
x
, a
y
, a
z
) (w przestrzeni trójwymiarowej).
najczęściej używa sie strzałki nad symbolem wielkości lub
stosuje pogrubioną czcionkę:
a
lub
a
(pamiętaj, że jeśli napiszesz samo
a
to będzie to oznaczało
wartość (długość) wektora, a więc skalar - jest to częsta
przyczyna popełniania błędów).
Długość wektora można oznaczać dwojako:
a
lub
|a|.
Wektor o długości 1 nazywa się
wektorem jednostkowym
lub
wersorem
i zapisuje najczęściej przy pomocy ”daszka”:
a
.
ˆ
Każdy wektor można przekształcić w wektor jednostkowy
a
dzieląc go przez długość:
a
= .
ˆ
a
x
1
Wektory
2.1
Wektory bazowe
Wprowadzamy trójkę wektorów jednostkowych ˆ ˆ
k,
wza-
i, j,
ˆ
jemnie prostopadłych; każdy z tych wektorów pokazuje kie-
runek i zwrot danej osi współrzędnych
2
.
z
ˆ
k
ˆ
i
ˆ
j
y
2
Wektor w układzie współrzęd-
nych kartezjańskich
y
y
ˆ
Przy ich pomocy konstruujemy wektory
a
x
ˆ
a
y
ˆ
a
z
k
i z
i,
j,
kolei, stosując znaną regułę dodawania wektorów, możemy
dany wektor
a
przedstawić w postaci
ˆ
a
=
a
x
ˆ +
a
y
ˆ +
a
z
k.
i
j
a
y
a
b
y
b
Graficznie ilustruje to poniższy rysunek (dla układu pła-
skiego).
często wystarczą dwie osie (x,
y)
(układ płaski), lub nawet
jedna (układ liniowy)
2
wektory bazowe dla układów innych niż kartezjański (bie-
gunowy, sferyczny, cylindryczny) znajdziesz w tekście
ukła-
dy współrzędnych.pdf – ”abecadło matematyczne początkują-
cego fizyka”
1
a
x
x
b
x
x
Kierunek i zwrot wektora w przestrzeni określamy wzglę-
dem obranego (dowolnie) układu współrzędnych. Może to
1
y
a
y
ˆ
j
a
x
ˆ
i
a
a
=
a
x
ˆ +
a
y
ˆ
i
j
3.3
Iloczyn skalarny
a
·
b
x
Stosując twierdzenie Pitagorasa nietrudno pokazać, że dłu-
gość wektora oblicza się według wzoru
|a|
=
a
2
+
a
2
+
a
2
.
z
y
x
Ten typ mnożenia zaznaczamy stawiając kropkę między
wektorami.
Definicja:
W wyniku mnożenia skalarnego wektorów
a
i
b
otrzymujemy skalar równy iloczynowi długości obu wekto-
rów i kosinusa kąta między wektorami.
α
a
b
a
·
b
=
ab
cos
α
Z definicji wynikają następujące wnioski:
3
Działania na wektorach
•
Iloczyn skalarny wyrażony przez składowe wektorów
4
:
a
·
b
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
.
Dla wektorów określa sie następujące działania:
•
dodawanie i odejmowanie wektorów
3
,
•
mnożenie wektora przez skalar,
•
Kosinus kąta pomiędzy wektorami
a, b
wyraża się nastę-
•
mnożenie skalarne wektora przez wektor (wynik: ska- pująco
lar),
a
·
b
.
cos
α
=
•
mnożenie wektorowe wektora przez wektor (wynik:
ab
wektor).
•
Kwadrat wektora jest równy długości wektora do kwa-
Nie ma natomiast dzielenia przez wektor, tej operacji nie dratu:
a
2
=
a
·
a
=
a
2
cos 0 =
a
2
.
da się jednoznacznie określić.
3.1
Dodawanie (odejmowanie)
•
Warunkiem koniecznym i wystarczającym prostopadłości
wektorów jest zerowanie się iloczynu skalarnego:
a
·
b
=0
a
⊥
b.
•
Wektory dodajemy dodając do siebie odpowiednie skła-
dowe:
ˆ
a
+
b
= (a
x
+
b
x
)ˆ + (a
y
+
b
y
)ˆ + (a
z
+
b
z
)
k,
i
j
przy odejmowaniu – składowe odejmujemy.
•
Wektory można dodawać
(odejmować) graficznie stosu-
jąc znaną regułę równoległo-
boku.
a
+
b
=
c
a
c
W szczególności, zachodzą relacje:
ˆ
·
ˆ = ˆ
·
ˆ =
k
·
k
= 1,
i i j j
ˆ ˆ
ˆ
·
ˆ = ˆ
·
k
= ˆ
·
k
= 0.
i j j
ˆ
i
ˆ
•
Rzut wektora
a
na kierunek wyznaczony przez wektor
b
(odcinek
AB)
dany jest wyrażeniem
a
a
·
b
.
AB
=
b
b
A
B
b
3.4
Iloczyn wektorowy
a
×
b
3.2
Definicja:
W wyniku mnożenia wektorowego wektorów
a
•
Mnożąc wektor
a
przez liczbę
m
dostajemy wektor o dłu- i
b
otrzymujemy wektor (nazwijmy go
c)
taki, że:
gości
ma,
o takim samym kierunku i zwrocie jeśli liczba
m
•
długość
c
wynosi
|c|
=
ab
sin
α,
jest dodatnia. W przypadku gdy liczba jest ujemna zwrot
•
kierunek jest prostopadły do obu wektorów
a
i
b
(czyli
zmienia sią na przeciwny.
do płaszczyzny, na której leżą),
•
W szczególności, mnożenie przez
−1
powoduje zmianę
•
zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej
5
.
zwrotu wektora.
a
−a
wyprowadź ten wzór samodzielnie wykonując mnożenie
ˆ
ˆ
ˆ +
a
y
ˆ +
a
z
k)
·
(b
x
ˆ +
b
y
ˆ +
b
z
k)
wyraz po wyrazie
j
i
j
(a
x
i
5
Tę regułę stosujemy następująco: obracamy pierwszy wektor
a
na płaszczyźnie (a,
b)
w kierunku wektora
b
(obieramy kąt
mniejszy od 180
o
). Zwrot będzie w tę stronę, w którą będzie się
wkręcać śruba prawoskrętna wykonująca taki obrót.
4
Mnożenie wektora przez skalar
Iloczyn wektorowy zapisujemy używając znaku
×.
3
nie ma sensu dodawanie wektora i skalara!
2
replacemen
4
c
b
Użyteczne twierdzenia i tożsa-
mości
α
a
Twierdzenie cosinusów dla trójkąta utworzonego przez wek-
tory
a, b, c
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
·
b.
Iloczyny wielokrotne
a
×
(
b
×
c)
=
b
(a
·
c)
−
c
(a
·
b),
Iloczyn wektorowy jest nieprzemienny:
a
×
b
=
−
b
×
a.
Zmieniając kolejność mnożenia zmieniasz zwrot wektora
c.
Iloczyn wektorowy wektorów równoległych jest równy zero
(bo sinus kąta 0
o
lub 180
o
jest równy zero)
a
×
b
=0
a
b.
(a
×
b)
·
(c
×
d)
= (a
·
c)(b
·
d)
−
(a
·
d)(b
·
c).
W szczególności:
ˆ
×
ˆ = ˆ
×
ˆ =
k
×
k
= 0,
i i j j
ˆ ˆ
ˆ
×
ˆ =
k,
i j
ˆ
ˆ
×
k
=ˆ
j
ˆ
i,
ˆ
i j.
k
×
ˆ = ˆ
Iloczyn wektorowy można wyrazić poprzez składowe wek-
torów następująco, pisząc go przy pomocy wyznacznika:
a
×
b
=
ˆ
i
a
x
b
x
ˆ
j
a
y
b
y
ˆ
k
a
z
b
z
.
(Uwaga: kolejność wierszy w wyznaczniku jest istotna! Za-
miana miejscami wiersza składowych
a
i wiersza składo-
wych
b
skutkuje zmianą znaku iloczynu wektorowego
a
×
b
na przeciwny, tak jakbyśmy obliczali
b
×
a.)
Po rozwinięciu wyznacznika względem elementów pierwsze-
go wiersza wzór przyjmuje postać
6
:
ˆ
a
×
b
= (a
y
b
z
−
a
z
b
y
)ˆ + (a
z
b
x
−
a
x
b
z
)ˆ + (a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
k.
i
j
3.5
Iloczyn mieszany
Iloczynem mieszanym trzech wektorów nazywamy iloczyn
skalarny jednego z nich przez iloczyn wektorowy dwóch po-
zostałych:
a
·
(
b
×
c) .
Iloczyn mieszany jest więc skalarem. Zachodzą związki:
a
·
(
b
×
c)
=
b
·
(c
×
a)
=
c
·
(a
×
b) .
Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego trzech wektorów
jest równa objętości
V
równoległościanu rozpiętego na tych
wektorach.
Iloczyn mieszany można wyrazić poprzez składowe wekto-
rów następująco, pisząc go przy pomocy wyznacznika:
a
·
(
b
×
c)
=
6
a
x
b
x
c
x
a
y
b
y
c
y
a
z
b
z
c
z
.
wyprowadź ten wzór samodzielnie wykonując mnożenie
ˆ
ˆ
j
i
j
i
(a
x
ˆ +
a
y
ˆ +
a
z
k)
×
(b
x
ˆ +
b
y
ˆ +
b
z
k)
wyraz po wyrazie
3

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin