12. CAŁKA NIEOZNACZONA – cz. I

Funkcją pierwotną funkcji f w pewnym przedziale (właściwym lub niewłaściwym) nazywamy taką funkcję F, której pochodna równa się funkcji f  w tym przedziale.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy symbolem

Ponieważ pochodna stałej równa się zeru, a dwie funkcje mające równe pochodne różnią się co najwyżej o stałą, zatem można napisać

12.1.  Podstawowe wzory rachunku całkowego

,  

W szczególności:

               (dla )

                         (dla )

                       (dla )

     (, ) ;     

  ,    

,      

,        

              Z reguły różniczkowania funkcji złożonej oraz z definicji całki nieoznaczonej wynikają użyteczne w rozwiązywaniu zadań wzory:

12.2.  Własności całki nieoznaczonej

(Czynnik stały można wyłączyć przed znak całki.)

(Całka sumy dwóch funkcji równa się sumie całek tych funkcji.)

Przykłady

1.   Dla funkcji

znaleźć pierwotną spełniającą warunek .

Rozwiązanie

Szukana pierwotna ma zatem przedstawienie

,

Stałą C wyznaczamy z warunku   ,

skąd  .  Ostatecznie .

2. Obliczyć całki

a)         b)

Rozwiązanie

a)

b)

12.3.  Całkowanie przez podstawienie i przez części

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale (a, b) , zaś funkcja ma ciągłą pochodną i nadto wartości jej leżą w przedziale (a, b), to

,

przy czym po scałkowaniu prawej strony należy ją wyrazić za pomocą zmiennej  x  podstawiając . Jest to tzw. wzór na całkowanie przez podstawienie.

Przykłady

a)              

Dokonujemy zmiany zmiennej, przyjmując .

Różniczkując obie strony dostajemy , zatem

b)               

Podstawiamy ,

wówczas   oraz  

skąd

zatem

.   

Całkując wzór na różniczkę iloczynu funkcji               u i v, mających ciągłe pochodne i , otrzymujemy wzór na całkowanie przez części:

Przykład

Obliczyć całkę             

Rozwiązanie  

Użyjemy wzoru na całkowanie przez części, przyjmując

, .

Wtedy

,

oraz

W ostatniej całce wydzielamy część całkowitą funkcji wymiernej, a następnie całkujemy

Ostatecznie

12.4. Całkowanie funkcji wymiernych

              Funkcje wymierne postaci

,     n = 1, 2, ...                                                                     (1)

oraz

  ,   ,      n = 1, 2, ... 

gdzie A, B, a, p, q  oznaczają pewne stałe, nazywamy ułamkami prostymi.

Funkcje wymierną   , będącą ilorazem wielomianów P(x) i Q(x) można przedstawić w postaci

,

gdzie W(x), L(x) i M(x) są wielomianami takimi, że w ilorazie stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika.

              Prawdziwe jest twierdzenie:

Każdą funkcję wymierną, której stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika można przedstawić jako sumę ułamków prostych.

              Rozważmy funkcję wymierną

(ułamek nieskracalny, licznik jest stopnia niższego niż mianownik)

i jej rozkład na ułamki proste.

Należy najpierw rozłożyć mianownik Q(x) na czynniki pierwsze.

Czynnikowi odpowiadać będzie ułamek prosty ;

gdy występuje w potędze k-tej, odpowiada mu suma k ułamków .

Podobnie czynnikowi kwadratowemu przyporządkujemy ułamek prosty ,

zaś czynnikowi 

sumę .

Przykłady

1. Rozłożyć ułamek właściwy na ułamki proste

a)                    

Rozkładamy mianownik ułamka na czynniki:

Należy znaleźć stałe A, B, C, D  takie, że

Mnożąc to stronami przez otrzymujemy

Współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x:

,   ,   ,   C = 4 ,

skąd dostajemy

A = -1,  B = 2,  C = 4  i  D = 3, 

zatem

b)

Mianownik przedstawia się jako iloczyn

,

skąd

Po przemnożeniu stronami przez  dostajemy

Współczynniki przy jednakowych potęgach x:

A + C = 1,   2A + B + 2C = 3,   2B + 5C = 17 ,

Stąd    A = -2,  B = 1,  C = 3     i  ostatecznie:

.    

Całkowanie funkcji wymiernych sprowadza się zatem do całkowania wielomianów i ułamków prostych.

              Ułamek prosty typu całkujemy podstawiając ,   co daje

Przy całkowaniu ułamka prostego typu

  ,   ,      n = 1, 2, ... 

funkcję podcałkową można przedstawić w postaci

...