Teoria_spektralna_dla_ergodykow(3).pdf
(
753 KB
)
Pobierz
Teoria spektralna dla ergodyków
Mariusz Lema«czyk
6 stycznia 2011
Spis tre±ci
1
Miary zespolone na przestrzeniach metrycznych
5
1.1
Miara zespolona i jej wahanie
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Regularno±¢ miary
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3
Miary na okr¦gu. Transformata Fouriera
. . . . . . . . . . . .
16
2
Teoria spektralna operatorów unitarnych w o±rodkowych prze-
strzeniach Hilberta
22
2.1
Twierdzenie Herglotza i lemat Wienera . . . . . . . . . . . . .
22
2.2
Własno±ci miar spektralnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3
Twierdzenie spektralne. Klasyfikacja operatorów unitarnych
.
38
2.4
Krotno±¢ spektralna operatorów unitarnych
. . . . . . . . . .
52
2.5
Własno±ci charakterystyczne operatorów unitarnych z wid-
mem prostym
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.6
Równowa»no±¢ cykliczna operatorów unitarnych . . . . . . . .
63
3
Operatory unitarne na przestrzeniach Focka
71
3.1
Produkt tensorowy przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . .
71
3.2
Produkt tensorowy operatorów unitarnych
. . . . . . . . . . .
75
3.3
Symetryczna przestrze« Focka . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.4
Konsekwencje prostoty widma operatorów
U
n
. . . . . . . .
86
3.5
Analiza spektralna na podprzestrzeniach permutacyjnych prze-
strzeni Focka
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4
Teoria spektralna reprezentacji unitarnych lokalnie zwartych
grup abelowych
97
4.1
Twierdzenie Bochnera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.2
Twierdzenie spektralne dla reprezentacji unitarnych . . . . . . 105
4.3
Symetrie grupowe i krotno±¢ jednorodna
. . . . . . . . . . . . 108
5
Twierdzenie Aleksiejewa
112
6
Teoria spektralna reprezentacji indukowanych
117
7
Uzupełnienia
126
7.1
O miarach warunkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2
Lematy o równo±ciach p.w., homomorfizmy mierzalne . . . . . 132
7.3
Selektory borelowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.4
Widmo Gelfanda elementów algebr Banacha
. . . . . . . . . . 136
7.5
Operatory liniowe i ci¡głe na przestrzeni Hilberta
. . . . . . . 144
2
Wst¦p
Poni»szy tekst jest pomy±lany jako pewne minimum wiedzy z teorii repre-
zentacji unitarnych lokalnie zwartych grup abelowych potrzebne dla zrozu-
mienia teorii spektralnej układów dynamicznych. Zaprezentowany materiał
jest adresowany głównie do doktorantów i studentów starszych lat studiów
matematycznych, specjalizuj¡cych si¦ w teorii ergodycznej i teorii układów
dynamicznych, pragn¡cych prowadzi¢ badania naukowe w tych dziedzinach.
Tekst ma charakter podr¦cznika, w zasadzie wszystkie dowody dotycz¡ce teo-
rii spektralnej s¡ bardzo szczegółowe, a uzupełniaj¡cy materiał mo»na zna-
le¹¢ w dodatkach lub przypisach (cz¦sto z dowodami lub szkicami dowodów,
ale czasem, ze wzgl¦du na stopie« zaawansowania, po prostu z odesłaniem
do odpowiedniego ¹ródła). Ze wzgl¦du na to, »e opanowanie zaprezentowa-
nego materiału ma słu»y¢ pó¹niejszej pracy badawczej (głównie w teorii er-
godycznej), nie unikałem w poni»szym tek±cie pewnych powtórze«, jak rów-
nie» prezentowania wielu narz¦dzi, które pó¹niej, w zale»no±ci od kontekstu
„dynamicznego”, pozwol¡ na liczenie niezmienników spektralnych układów
dynamicznych.
Z drugiej strony w zaprezentowanym mteriale czytelnik nie znajdzie ope-
ratorowych miar spektralnych, skoncentrowałem si¦ jedynie na teorii „skalar-
nych” miar spektralnych, która, zgodnie z moim do±wiadczeniem badawczym,
jest wystarczaj¡ca w teorii spektralnej układów dynamicznych
1
. Z przyczyn
czysto dydaktycznych materiał prezentowany jest w dwóch krokach. Naj-
pierw szczegółowo zaprezentowano teori¦ spektraln¡ operatorów unitarnych
na o±rodkowych przestrzeniach Hilberta. W tej sytuacji miary spektralne s¡
obiektami „»yj¡cymi” na konkretnej przestrzeni, mianowicie na okr¦gu. St¡d
stopie« abstrakcji wydaje si¦ by¢ akceptowalny dla stawiaj¡cych pierwsze
kroki w tej teorii. Nast¦pnie przedstawiono ogóln¡ teori¦ reprezentacji unitar-
nych abelowych grup lokalnie zwartych, w której zasadnicz¡ rol¦ odgrywaj¡
miary spektralne, które „»yj¡” w ±wiecie znacznie bardziej abstrakcyjnym, a
mianowicie na grupie dualnej (grupie charakterów).
Oprócz prezentacji głównych technik spektralnych, wiele uwagi po±wi¦ci-
łem teorii spektralnej operatorów
2
na symetrycznych przestrzeniach Focka.
1
Czytelnik znaj¡cy operatorowe miary spektralne bez trudu zauwa»y, »e wzór
h
E
(
A
)
x,x
i
=
x
(
A
), gdzie
E
(
·
) jest operatorow¡ miar¡ spektraln¡ operatora,
x
za±
skalarn¡ miar¡ spektraln¡, a
A
T
jest podzbiorem borelowskim okr¦gu, pozwala na
przechodzenie z jednego j¦zyka do drugiego.
2
Teoria przenosi si¦ bez »adnych zmian i na potoki (podgrupy jednoparamterowe).
3
W kontek±cie dynamicznym jest to zrozumiałe – takie operatory s¡ natural-
nie zwi¡zane z dwoma klasycznymi klasami układów dynamicznych: ukła-
dami Gaussa i zawieszeniami Poissona. Ta sama motywacja spowodowała
szczegółowe przedstawienie teorii spektralnej reprezentacji indukowanych –
dla układów dynamicznych odpowiada to (na poziomie spektralnym) indu-
kowaniu w sensie dynamicznym
3
.
Czytelnik nie powinien odnie±¢ jednak wra»enia, »e zaprezentowany tekst
stanowi cało±¢ teorii spektralnej. Tak nie jest nawet na poziomie poj¦cio-
wym. Wiele faktów czysto spektralnych pojawi si¦ w dalszych cz¦±ciach tek-
stu po±wi¦conego teorii poł¡cze« układów dynamicznych (i jej zastosowa-
niom). „Oderwanie” tych faktów od kontekstu dynamicznego wydało mi si¦
niecelowe.
3
Dla przykładu potoki specjalne pod funkcj¡ stał¡ okazuj¡ si¦ by¢ ze spektralnego
punktu widzenia reprezentacjami indukowanymi operatora unitarnego wyznaczonego przez
podstaw¦ potoku specjalnego.
4
1
Miary zespolone na przestrzeniach metrycz-
nych
Poni»szy rozdział ma charakter wst¦pu zbieraj¡cego najwa»niejsze wiadomo-
±ci dotycz¡ce miar borelowskich na przestrzeniach metrycznych o±rodkowych
i zupełnych.
1.1
Miara zespolona i jej wahanie
Załó»my, »e (
X,
B
) jest przestrzeni¡ mierzaln¡.
Definicja 1.1
Miar¡ zespolon¡
okre±lon¡ na przestrzeni mierzalnej (
X,
B
)
nazywamy dowoln¡ funkcj¦
µ
:
B!
C
tak¡, »e
[
X
µ
(
A
i
) =
µ
(
A
i
)
i
=1
i
=1
dla dowolnej rodziny
{
A
i
}B
zbiorów parami rozł¡cznych.
Zauwa»my, »e dla dowolnej permutacji
:
N
!
N
,
S
i
=1
A
i
=
S
i
=1
A
(
i
)
,
wi¦c szereg w powy»szej definicji musi by¢ bezwzgl¦dnie zbie»ny (tzn. zbie»ny
jest szereg
P
i
=1
|
µ
(
A
i
)
|
). Ponadto, zauwa»my, »e
µ
(
;
) = 0.
Załó»my teraz, »e chcemy znale¹¢ miar¦ dodatni¡
(okre±lon¡ na
B
),
która „majoryzuje” nasz¡ miar¦ zespolon¡, tzn. »¡damy, aby zachodziła nie-
równo±¢
|
µ
(
A
)
|¬
(
A
) dla dowolnego
A
2B
,
przy czym chodzi oczywi±cie o znalezienie „najmniejszego”
. Je±li
A
=
S
i
=1
A
i
, gdzie
A
i
\
A
j
=
;
dla
i
6
=
j
(oczywi±cie zakładamy, »e wszystkie
zbiory
A
i
nale»¡ do
B
), to
X
X
(
A
) =
(
A
i
)
|
µ
(
A
i
)
|
,
i
=1
i
=1
wi¦c idea definicji
jest oczywista.
Kładziemy
X
|
µ
|
(
A
) :=
sup
|
µ
(
A
i
)
|
A
=
S
A
i
,A
i
\
A
j
=
;
,A
i
2B
i
=1
5
Plik z chomika:
xyzgeo
Inne pliki z tego folderu:
cetds2000(2).pdf
(48943 KB)
spectralENCYCLOPEDIA(2).pdf
(457 KB)
times23(2).pdf
(3022 KB)
AFskrypt(3).pdf
(756 KB)
Teoria_spektralna_dla_ergodykow(3).pdf
(753 KB)
Inne foldery tego chomika:
06-DLOGLI0 Podstawy logiki i teorii mnogości (geminus)
httpalgebra.rezolwenta.eu.orgMaterialy
httpmath.uni.lodz.pl~kowalcr
httpwww.fuw.edu.pl~pmajlect.php
httpwww.math.uni.wroc.pl~newelskidydaktykalogikaBlogikaB.html
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin