12345 Wiener, Christian Lehrbuch der darstellenden Geometrie.pdf

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LEHRBUCH DER
DARSTELLENDEN GEOMETRIE
VON
EDUARD STIEFEL
PROFESSOR AN DER EIDG.TECHN.HOCHSCHULE
IN ZURICH
DRITTE AUFLAGE
SPRINGER BASEL AG
Nachdruck verboten.
Aile Rechte, insbesondere das der Obersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
Springer Basel AG 1971
Urspriinglich erschienen
bei
Birkhiiuser Verlag, Basel 1971
Softcover reprint of the hardcover 3rd edirion 1971
©
ISBN 978-3-0348-7370-3
ISBN 978-3-0348-7369-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-7369-7
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VORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE
Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die ich seit zehn
Jahren an der Eidg. Technischen Rochschule in Zurich uber darstellende
Geometrie gehalten habe. Es ist kurz gefaBt, da man darstellende Geometrie
nur erlernen kann, indem man die Grundlagen den Lehrbuchern entnimmt,
das ubrige aber durch eigene Konstruktionen und Dbungen hinzufugt. Spe-
ziell habe ich mich bemiiht, die Verknupfung mit hOheren und neueren Teilen
der Geometrie herzustellen. Unsichtbar bleibt fUr den Leser die dauernde Aus-
einandersetzung mit den axiomatischen Grundlagen der Geometrie.
Der erste Teil ist im Rinblick auf die Anwendungen in der Technik und
unter spezieller Beriicksichtigung von didaktischen Gesichtspunkten geschrie-
ben worden. Er entspricht ungefahr dem Inhalt meiner Wintervorlesung an
der ETR. fUr Mathematiker, Physiker und Ingenieure aller Arten. Ais Dbungs-
stoff zum ersten Abschnitt dieses Teils sei dem Leser das bekannte Werk von
K. DANDLIKER und O. SCHLAPFER empfohlen (Aufgabensammlung der dar-
stellenden Geometrie, 2. Auflage, 1957).
Yom zweiten Teil an tritt dann immer mehr der wissenschaftliche Stand-
punkt in den Vordergrund. Es wird zunachst die Lehre von den KegeIschnitten
auf die
Reziprozitat
gegrundet, wahrend andere Lehrbiicher dazu gewohnlich
die Affinitat und Kollineation benutzen. Dieser Weg erschien mir vorteilhaft,
weil damit das
Dualitatsprinzip
korrekt begrundet werden kann und sofort
niitzliche Dienste leistet.
Etwas ausfiihrlicher mochte ich dem Leser den dritten Teil des Buches vor-
stellen. Sinnt man ohne Voreingenommenheit daruber nach, welche Forde-
rungen man zur theoretischen Begrundung der darstellenden Geometrie an das
ebene Bild einer raumlichen Konfiguration stellen mochte, so wird man in
erster Linie verlangen, daB das Bild
geradentreu
sei, daB also jede Gerade im
Raum auch im Bild wieder als Gerade erscheint. Wenn in den Lehrbiichern bis-
her der ProzeB des Projizierens einzig zur Erzeugung von Abbildungen be-
nutzt wird, so scheint mir hier schon eine Verkniipfung mit dem Sehen und
der Anschauung vorzuliegen, welche der Theorie an sich fremd ist. Aus diesem
Grund wurde im dritten Teil eine Theorie der geradentreuen Abbildungen ent-
wickelt, bei welcher das Proji?ieren nur als Spezialfall erscheint. Durch diesen
etwas hoheren Grad der Allgemeinheit werden - wie auch sonst in der Mathe-
matik - die Beweise natiirlicher und leichter ubersehbar; so ist zum Beispiel
der beriihmte
Satz von Pohlke
dann entbehrlich. Ob man von einer Verein-
fachung sprechen will, ist natiirlich Geschmacksache. Zum Aufbau dieser
Theorie muBte der Begriff des
perspektivischen Achsenkreuzes
geschaffen wer-
6
Vorwort
den; daB er nieht allzu unglueklieh gewahlt ist, solI der Anhang darlegen. Dort
wird gezeigt, daB dieser Begriff sehr veralIgemeinerungsfahig ist.
DaB aueh heute noeh beaehtenswerte Weehselbeziehungen zwischen der
darstellenden Geometrie und neueren Zweigen der geometrisehen Wissen-
sehaften bestehen, solI ebenfalIs der Anhang auseinandersetzen. Mit Hilfe von
Begriffsbildungen der modernen
Theorie der Gewebe
werden namlich die ge-
laufigen Methoden der darstellenden Geometrie in neuem Licht gezeigt und
stark veralIgemeinert.
Von den Anwendungen habe ieh diejenigen Teile etwas ausfUhrlieher be-
handeIt, welche ungefahr den Stoff einer Spezialvorlesung ausmaehen, die ieh
jeweils im Sommer an der ETH. haIten muB, namlieh die Grundlagen der
Photogrammetrie
und die
sphiirische Geometrie.
Umfangreiehere und selbstan-
dige Anwendungsgebiete wie die
N omographie
oder
kinematische Geometrie
sol-
len vielIeieht spater einmal dargestellt werden.
Der Faehmann wird vielleieht einige ihm liebgewordene Einzelheiten ver-
missen. Er moge als Entsehuldigung annehmen, daB ieh einerseits naeh reif-
lieher Oberlegung nur die Teile weggelassen habe, die mir dem heutigen Stand
der mathematisehen und teehnisehen Wissensehaften nieht mehr angemessen
sehienen, und daB ieh andererseits den Preis des Buehes mogliehst niedrig
haIten wollte. Was endlieh die Figuren anbetrifft, so habe ieh mieh bemuht,
einfaeh zu bleiben und mit wenigen Linien auszukommen. Es ist namlieh fUr
den Leser ein reeht unangenehmes Gesehaft, eine komplizierte Figur ent-
wirren zu mussen, bei deren Entstehung er nieht zugegen war und die nur den
Zeichner freut.
Den Herren Prof. Dr.
C.
BURRI von der ETH. und O. SCHLAPFER von der
Oberrealsehule Zurich verdanke ieh einige Anregungen und Verbesserungen.
Herr Dr. W. BAUM hat mir beim Lesen der Korrekturen geholfen und das
Saehverzeiehnis verfaBt; Herr
J.
LANGHAMMER, Kartograph, hat mit groBem
Einfuhlungsvermogen und erstaunlieher Prazision die Reinzeichnungen fUr die
Figuren hergestellt. Allen dies en Mitarbeitern, insbesondere aber dem
Verlag
Birkhiiuser,
danke ieh aufrichtig.
Zurich, Februar 1947.
VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE
Da die darstellende Geometrie sich seit dem Erscheinen der
1.
Auflage
wissensehaftlieh kaum weiterentwiekelt hat, konnten grossere Anderungen
unterbleiben. Es wurde aber das Kapitel uber projektive darstelIende Geo-
metrie etwas bereichert, indem einerseits die Bedingung hergeleitet ist, daB
eine Perspektiye eine Zentralprojektion sei, und andererseits eine weiter-
gehende Diskussion des gefahrlichen Orts in der Photogrammetrie aufge-
nommen wurde.
Zurich, Oktober 1959
E. STIEFEL
E.
STIEFEL.
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INHALTSVERZEICHNI S
Einleitung.
Darstellende Geometrie im engeren Sinn. Das Projizieren. Das
Messen und die Anschaulichkeit. Zweibildermethode. Krumme Flachen.
Darstellende Geometrie im weiteren Sinn. Unmoglichkeit der langen-
treuen Abbildung eines Gebietes der Kugel auf eine Ebene. . . . . .
ERSTER TElL.
Elementare darstellende Geometrie
9
13
13
16
20
27
35
39
Erster Abschnitt: Zugeordnete Normalprojektionen
. . . . . ..
§
1.
Das Koordinatensystem. . . .
. . . . . ..
§
2. Darstellung der Raumelemente. Die Gerade. Die Ebene. Punkt
und Gerade in der Ebene . . . . . . . . .
.......
§
3. Lageaufgaben. Grundaufgaben. Parallelenprobleme. . . . . . .
§
4. Metrische Aufgaben. Abstande und Winkel. Zylinder, Kegel,
Kugel . . . . . . . . . . .
§
5. Darstellung des Kreises, Ellipse
§
6. Umprojizieren (Transformationen)
Z weiter A bschnitt: Orthogonale A xonometrie
§
1.
Konstruktion eines Achsenkreuzes, Verkiirzungen
§
2. Herstellung eines axonometrischen Bildes
§
3. Vereinfachung. . . . . . . . . . . . . . .
§
4. Lage- und MaBaufgaben . . . . . . . . . .
§
5. Satz von GAUSS, Verkiirzungsdreieck, Spinoren
Dritter Abschnitt: Konstruktive Behandlung gekrummter Fliichen
.
§
1.
Die Schraubenlinie als Beispiel einer Raumkurve
§
2. Flachen, Tangentialebene. Rotationsflachen, Schraubenflachen,
Kegelflachen, Regelflachen . . . . . . . . . . . . . . . . .
§
3. UmriB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§
4. Ebener Schnitt. Kegelschnitt. Schnitt einer Flache mit einer Tan-
gentialebene. Das Rotationshyperboloid . . . . . . . . . . .
§
5. Schnitt von zwei Flachen. Schnitt von zwei Kegelflachen. Methode
der Hilfsflachen zur Punktkonstruktion. Methode der Flachen-
normalen zur Tangentenkonstruktion
§
6. Kotierte Normalprojektion. Erdbauten. Boschungsflachen. Ab-
wicklung der Boschungsflache . . . . .
ZWEITER TElL.
Reziprozitiit, Kurven und Fliichen zweiter Ordnung
§
1. Die Reziprozitat. Unendlich ferne Elemente: Satz von DESARGUES.
Polarentheorie. Reziproke Figur des Kreises . . . . . . . . .
§
2. Die Satze von PASCAL und BRlANCHON. Grenzfiille. Anwendungen.
Umkehrung des Satzes von PASCAL. Zentralprojektion eines Kegel-
schnitts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
43
44
48
50
52
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64
72
76
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