MAT BUD 5.pdf

(43 KB) Pobierz
MATEMATYKA BUDOWNICTWO - 5
ZADANIA: Rachunek tensorowy –część 1
1. Sprawdzić, czy macierz A jest podobna do macierzy B z macierzą podobieństwa P
a)
A
=
,
B
=
5
−
2
,
P
=
−
2
−
13
−
21
b)
A
=
,
B
=
,
P
=
2
−
1
4
−
2
0
4
3
5
0
−
4
20
31
1
3
3
−
1
;
1
1
.
−
2
2. Sprawdzić, czy macierze A i B są podobne:
2
a)
A
=
−
1
1
b)
A
=
−
1
0
1
,
B
=
1
0
0
−
1
,
B
=
1
0
0
;
2
0
.
2
3. Sprawdzić, czy macierze są ortogonalne:
1
a)
A
=
2
3
2
1
−
3
2
c)
A
=
3
2
3
−
3
2
1
2
2
1
−
5
2
1
0
5
1
0
−
2
b)
A
=
sin
α
−
cos
α
1
−
3
2
d)
A
=
3
2
3
2
3 5
4
3 5
5
−
3 5
−
cos
α
sin
α
2
5
1
5
0
4. Sprawdzić, czy operacja dana wzorem jest liniowa
a)
A
:
V
2
→
V
2
b)
A
:
V
2
→
V
2
c)
A
:
V
2
→
V
2
d)
A
:
V
2
→
V
2
r
3
x
r
x
A
(
x
)
=
2
x
=
1
,
x
1
x
2
x
2
r
xy
r
x
A
(
x
)
=
 
x
=
 
,
1
y
r
x
−
2
y
r
x
A
(
x
)
=
x
=
y
,
2
y
 
r
x
+
y
r
x
A
(
x
)
=
x
=
 
,
y
+
1
y
r
r
r
r
e)
A
:
V
2
→
V
2
,
A
(
x
)
=
2
x
+
a
, gdzie
a
dowolny niezerowy wektor
f)
A
:
V
3
→
V
3
1
−
2
r r
 
r
 
r
r r
,
A
(
x
)
=
a
(
x
o
b
)
a
=
0
,
b
=
1
−
2
3
 
 
g)
A
:
V
3
→
V
3
r
r r r
r r r
,
A
(
x
)
=
x
×
b b
=
3
e
1
+
e
2
+
e
3
5. Wyznaczyć macierz przejścia z bazy
β
do bazy
β
′
oraz wyznaczyć współrzędne wektora
r
x
w bazie
β
′
:
1
0
0
 
1
0
−
2
 
r
r
r
r
1

r
1
 
r
1
 
′
′
a)
β
=
e
1
=
0
,
e
2
=
1
,
e
3
=
0
 
,
β
′ =
e
1
′ =
1
,
e
2
=
1
,
e
3
=
1
�½
,
�½
 
 
 
3
2
6
 
0
0
1
 
1
−
1
1

 
 
 

 
 
1
0
0
 
1
2
−
1
 
r
r
r
r
r
1
 
r
1
 
1
′
b)
β
=
e
1
=
0
,
e
2
=
1
,
e
3
=
0
 
,
β
′ =
e
1
′ =
0
,
e
2
=
1
,
e
3
′ =
4
�½
,
�½
 
 
 
3
 
2
3 2
 
0
0
1
 
1
−
2
1

 
 
 
 
 
 
1
r
x
=
2
;
 
1
 
2
r
x
=
0
.
 
0
 
c)
6. Wyznaczyć macierz operacji liniowej A w bazie standardowej:
3
x
+
y
−
4
z
x
r
r
a)
A
:
V
3
→
V
3
,
A
(
x
)
=
x
+
2
z
,
x
=
y
;
 
3
y
−
2
z
z
 
1
−
2
r
r r r
r
 
r
 
b)
A
:
V
3
→
V
3
,
A
(
x
)
=
a
(
x
o
b
),
a
=
0
,
b
=
1
;
−
2
3
 
 
c)
A
:
V
3
→
V
3
,
A
(
x
)
=
x
×
b
,
b
=
3
e
1
+
e
2
+
e
3
;
2
x
r
 
r
 
r
r r
d)
A
(
x
)
=
u
×
x
, gdzie
u
=
1
,
x
=
y
.
2
Β
z
Β
 
 
r
r r
r
r
r
r
7. Sprawdzić, czy wektor
x
jest wektorem własnym operacji liniowej
A
(x )
reprezentowanej
przez macierz
A
B
:
−
2
10
r
a)
x
=
0
,
A
B
=
2
 
1
−
4
 
−
1
3
r
 
b)
x
=
1
,
A
B
=
−
1
0
2
 
2
−
4
4 4
;
4 10
−
1 2
3 2
;
2 0
−
1
−
6 2
−
2
r
c)
x
=
2
,
A
B
=
2
−
5 0
;
 
2
−
2 0
−
7
 
r
r
8. Sprawdzić, czy odwzorowanie A jest symetryczne:
x
−
y
+
2
z
x
r
r
a)
A
:
V
3
→
V
3
,
A
(
x
)
=
−
x
+
3
y
,
x
=
y
;
 
2
x
−
z
z
 
5
x
+
2
y
−
4
z
x
r
r
 
b)
A
:
V
3
→
V
3
,
A
(
x
)
=
2
x
+
2
y
−
2
y
,
x
=
y
.
−
4
x
−
2
y
+
5
z
z
 
9. Operacja liniowa A jest reprezentowana przez macierz
A
B
i ma ona miedzy innymi podane
wektory własne. Sprowadzić macierz operacji A do postaci diagonalnej i wyznaczyć bazę
β
′
w której macierz operacji jest postaci diagonalnej:
10
−
4
−
2
 
1
a)
A
B
=
−
4 4
−
4
,
2
,
  
−
2
−
4 10
 
1
  
−
2
1
;
 
0
 
2
−
4
 
2
5
b)
A
B
=
2 2
−
2
,
1
,
  
−
4
−
2 5
 
−
2
  
−
1
4
.
 
1
 
10. Operacja A w bazie B jest reprezentowana przez macierz A
B
. Wyznacz bazę B
’
w której
macierz tej operacji jest macierzą diagonalna. Podać macierz przejścia z bazy B do B
’
.
−
6 2
−
2
a)
A
B
=
2
−
5 0
−
2 0
−
7
3
−
1 2
b)
A
B
=
−
1 3 2
2 2 0
x
2
x
−
y
−
z
r
r
A
(
x
)
=
−
x
+
4
y
−
z
x
=
y
.
 
,
z
−
x
−
y
+
4
z
 
11. Dana jest operacja
A
:
V
3
→
V
3
1) Sprawdzić, czy jest to operacja liniowa.
2) Sprawdzić, czy jest to operacja symetryczna.

1
 
0
 
0
 
3) Wyznaczyć macierz tej operacji w bazie
β
=

0
,
1
,
0
 
.
      �½

0
 
0
 
1
 
      
4) Wyznaczyć wartości własne i wektory własne tej operacji.
5) Wyznaczyć bazę
β
'
, w której macierz operacji jest macierzą diagonalną.
6) Wyznaczyć macierz przejścia z bazy
β
do bazy
β
'
, sprawdzić czy macierz ta
jest macierzą ortogonalną.
7) Podać macierz operacji w bazie
β
'
, oraz pokazać,
Ŝe
A
β
=
P
−
1
A
β
P
.
'
2
8) Wyznaczyć obraz wektora
−
2
przy operacji A.
 
−
2
Β
 
−
1
9) Wyznaczyć współrzędne wektora
1
w bazie
β
'
.
 
1
Β
 
10)
11)
2
Wyznaczyć współrzędne wektora
0
w bazie
β
.
 
0
Β
'
 
−
3
Sprawdzić, czy wektor
3
jest wektorem własnym danej operacji.
 
3
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin