Marta Dul 157923
Metody numeryczne
Temat: Interpolacje metodą Lagrange’ i Newtona
Prowadzący: mgr inż. A. Kosior
OBLICZENIA RĘCZNE:
1. Wyznaczenie wielomianu interpolacyjnego metodą Lagrange'a
a) ogólna postać wielomianu Lagrange'a:
Pl=0*x-x2*x-x3*(x-x4)x1-x2*x1-x3*(x1-x4)+0,75*x-x1*x-x2*(x-x4)x2-x1*x2-x3*(x2-x4)+1*x-x1*x-x2*(x-x4)x3-x1*x3-x2*(x3-x4)+0,5*x-x1*x-x2*(x-x3)x4-x1*x4-x2*(x4-x3)→Pl=-0,297x3+0,625x2+0,387x+0
2. Metoda Newtona
a) ogólna postać wielomianu Newtona
Pn=0+0,716*x-x1-0,152*x-x1*x-x2-0,297*x-x1*x-x2*x-x3→Pn
4.Kod programu Matlab:
>> x=[0 pi/3 pi/2 3*pi/4];
y=sin(x).^2;
[alfa,L]=lagran(x,y);
alfa=y*L;
[C,D]=newpoly(x,y);
xx=linspace(0,3*pi/4);
ys=sin(xx).^2;
Lx=polyval(alfa,xx);
Nx=polyval(C,xx);
plot(x,y,'ro',xx,ys,'b-',xx,Lx,'g-');
legend('punkty','funkcja','wielomian interpolacyjny');
grid on
xlok=pi/4;
Errorlok=abs(sin(xlok)^2-(C(1)*xlok^3+C(2)*xlok^2+C(3)*xlok+C(4)));
>> alfa
alfa =
-0.2967 0.6248 0.3873 0
>> C
C =
>> Errorlok
Errorlok =
0.0458
5. Wykres:
6. Wnioski
Jak widać z powyższych obliczeń interpolacja metodą Lagrange’a oraz Newtona dają taki sam rezultat inny jest jedynie tok obliczeń. Na powyższym wykresie widzimy, że wielomian na dwóch ostatnich węzłach znacznie odbiega od badanej funkcji natomiast pomiędzy węzłem pierwszym i trzecim daje dość duże przybliżenie dlatego błąd lokalny nie jest duży. Zmniejszenie błędu lokalnego można za pomocą funkcji sklejanych tzw. Spline lub poprzez zwiększenie ilości węzłów interpolacyjnych.
bzyku151515