Golbiak jacek, Hereć monika - TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY.pdf

(238 KB) Pobierz
ROCZNIKI FILOZOFICZNE
Tom LX, numer 4 – 2012
JACEK GOLBIAK
MONIKA HEREû
*
TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY
MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ
I. WST P
W fizyce XX wieku dokonaáy si dwie wielkie rewolucje naukowe: Ogólna
Teoria Wzgl dno ci (OTW) i Mechanika Kwantowa. Predykcje obydwu teorii
znalazáy potwierdzenia empiryczne. Rozwojowi tych teorii towarzyszyáo jednak
wzajemne napi cie, wynikaj ce z istotnych ró nic zarówno na poziomie j zyka,
formalizmu, jak i interpretacji. Mechanika Kwantowa opisuje procesy kwantowe
w j zyku sztywnej przestrzeni Hilberta, podczas gdy OTW sprowadza oddziaáy-
wania grawitacyjne do Lorentzowskiej geometrii dynamicznej czasoprzestrzeni,
formowanej przez procesy fizyczne. Fizyka bardzo wczesnych etapów ewolucji
Wszech wiata (epoka Plancka) wymaga poá czenia Mechaniki Kwantowej i OTW
w jedn Kwantow Teori Grawitacji. Brak takiej teorii unifikuj cej wynika nie
tylko ze wzmiankowanej odmienno ci teorii kwantów i grawitacji, ale ponadto
z trudno ci kosmologii standardowej. Kwantowe modele kosmologiczne s
pierwszym przybli eniem Kwantowej Teorii Grawitacji, która aktualnie nie jest
znana
1
. T cz ü kosmologii, która zajmuje si badaniem pocz tku Wszech wiata
jako procesu kwantowego, nazywa si kosmogenez kwantow
2
.
W literaturze przedmiotu wyeksponowana jest gáównie kosmogeneza autor-
stwa Hawkinga i Hartle’a, oparta na funkcji falowej Wszech wiata i formalizmie
Ks. dr J
ACEK
G
OLBIAK
– Katedra Fizyki Teoretycznej na Wydziale Filozofii KUL; adres do
korespondencji: Al. Racáawickie 14, 20-950 Lublin; e-mail: jgolbiak@kul.lublin.pl
Dr M
ONIKA
H
EREû
– Katedra Fizyki Teoretycznej na Wydziale Filozofii KUL; adres do
korespondencji: Al. Racáawickie 14, 20-950 Lublin; e-mail: herecm@kul.lublin.pl
1
J. G o l b i a k,
Pocz tek wiata w kosmologii kwantowej,
niepublikowana rozprawa doktorska,
2007.
2
E. H a r r i s o n,
Cosmology – the science of the Universe,
2
nd
edition Cambridge 2000, s. 515.
102
JACEK GOLBIAK – MONIKA HEREû
caákowania po trajektoriach
3
, oraz kosmogeneza Vilenkina, oparta na efekcie
tunelowym
4
. Dominowaáa kosmologia Hawkinga, m.in. dlatego, e zostaáa dobrze
spopularyzowana. W odró nieniu od innych propozycji model Hawkinga i Har-
tle’a staá si podstaw tre ci natury filozoficznej i wiatopogl dowej
5
. Hawking
twierdzi, e zbudowaá koncepcj Wszech wiata samowystarczalnego, w którym
zostaá rozwi zany problem warunków pocz tkowych i brzegowych, oraz e w je-
go koncepcji kosmogenezy ma si do czynienia z kosmogenez
ex nihilo.
Nasz artykuá przedstawia krytyczne uwagi pod adresem gáównych modeli kos-
mologii kwantowej, gáównie przez odwoáanie si do poj ü topologicznych. Naj-
pierw zaprezentowana zostanie krytyka autorstwa G. McCabe’a, który odwoáuje si
do topologicznego poj cia kobordyzmu
6
, a nast pnie argumentacja McCabe’a zo-
stanie uzupeániona. Prezentacj pogl dów McCabe’a i dalsze analizy poprzedzi wpro-
wadzenie pewnego formalizmu – szeregu definicji, uwag, twierdze i wniosków.
II. TOPOLOGICZNE POJ CIE KOBORDYZMU
Niech
6
b dzie 3-wymiarow przestrzeni Riemanna z zadanym na niej polem
tensorowym
h.
Na
6
zadano równie pola materialne
M
, które opisuj materi .
Definicja 1
Przestrzeni konfiguracyjn OTW nazywa si zbiór wszystkich trójek
^
6
i
,
h
i
,
M
i
`
, które skáadaj si ze wszystkich
6
i
, na których okre lono metryk
h
i
oraz pole
M
i
; gdzie „i” jest indeksem numeruj cym trójki.
Definicja 2
Propagatorem
K
6
i
,
h
i
,
M
i
;
6
f
,
h
f
,
M
f

nazywa si caák
§
iA
·
K
6
i
,
h
i
,
M
i
;
6
f
,
h
f
,
M
f

³
exp
¨ ¸
d
P
,
©
!
¹
§
iA
·
gdzie
A
jest dziaáaniem dla materii i grawitacji;
exp
¨ ¸
jest czynnikiem wa-
©
!
¹
J. H a r t l e, S. H a w k i n g,
Wave Function of the Universe,
„Physical Review” 1983, D 28,
s. 2960-2975.
4
A. V i l e n k i n,
Quantum Creation of Universes,
„Physical Review” 1984, D 30, s. 509-511.
5
S. H a w k i n g,
A brief history of time,
New York 1988.
6
G. M c C a b e,
The structure and interpretation of cosmology, Part I,
„Studies in History and
Philosophy of Modern Physics” 35 (2004), s. 549-595; G. M c C a b e
The structure and interpreta-
tion of cosmology, Part II,
„Studies in History and Philosophy of Modern Physics” 36 (2005), s. 67-102.
3
TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ
103
cym udziaá ró nych trajektorii interpoluj cych pomi dzy pocz tkow i ko -
cow konfiguracj .
Niech
P
L
b dzie zbiorem wszystkich 4-wymiarowych lorentzowskich czaso-
przestrzeni (M) z metryk
g,
która zaw ona do przestrzeni
6
i
i
6
f
wynosi od-
powiednio
h
i
i
h
f
g
6
h
i
;
g
6
h
f
. Zakáada si , e para (M,g) jest rozmaito ci
i
f
z brzegiem. Niech brzeg rozmaito ci (M,
g)
skáada si z rozá cznej sumy
przestrzeni
6
i
i
6
f
. Wtedy pola fizyczne (tak jak metryka) s indukowane poprzez
gáadkie pola zadane na (M,
g):
M
6
M
i
oraz
M
6
M
f
i
f
Przestrzenie
6
i
i
6
f
b dzie nazywaü si odpowiednio pocz tkow oraz finaln .
O rozmaito ci (M,
g)
b dzie mówiü si , e interpoluje pomi dzy stanem
pocz tkowym a finalnym
7
.
Definicja 3
Par (
6
1
,
6
2
)
n-wymiarowej
rozmaito ci b dzie nazywaü si kobordyczn ,
je eli przestrzenie
6
1
i
6
2
tworz rozá czne skáadowe brzegu (n+1) – wymiarowej
rozmaito ci
8
.
Mo na udowodniü twierdzenia:
— ka da para zwartych, 3-wymiarowych rozmaito ci riemannowskich
6
1
,
h
1

i
6
2
,
h
2

jest kobordyczna
9
,
— ka da para zwartych, riemannowskich 3-rozmaito ci jest kobordyczna w sen-
sie Lorentza
10
.
Wniosek 1
Zawsze b dzie istnieü zwarta, 4-wymiarowa rozmaito ü Lorentza (M,
g)
z brzegiem
w
M
, który jest rozá czn sum
6
1
i
6
2
, a metryka
g
indukuje odpo-
wiednio metryki
h
1
i
h
2
na przestrzeniach
6
1
i
6
2
.
Przestrzenie
6
i
i
6
f
nie musz byü topologicznie równowa ne (homeomorficzne). St d po
drodze od
6
i
do
6
f
mo e nast piü zmiana topologii
6.
8
Terminu „kobordyzm” u ywa si w topologii w dwu znaczeniach: na oznaczenie samych
rozmaito ci opisanych w definicji oraz jako nazwy relacji. Szerzej na temat kobordyzmu zob. J.W.
M i l n o r,
Topologia z ró niczkowego punktu widzenia,
Warszawa: PWN 1969.
9
W.B.R. L i c k o r i s h,
Homeomorphisms of non – orientable two – manifolds,
„Proceedings
of the Cambridge Philosophical Society” 59 (1963), s. 307-317.
10
B.L. R e i n h a r t,
Cobordism and the Euler number,
„Topology” 2 (1963), s. 173-177.
7
104
Wniosek 2
JACEK GOLBIAK – MONIKA HEREû
Nawet kiedy rozmaito ci
6
1
,
h
1

i
6
2
,
h
2

s zwartymi, 3-wymiarowymi roz-
maito ciami o ró nych topologiach, b dzie istnieü interpoluj ca je czasoprzestrze .
Ka dej mo liwej interpoluj cej czasoprzestrzeni, reprezentuj cej pewn histo-
ri w j zyku caáek po trajektoriach, przyporz dkowuje si liczb zwan dzia-
áaniem. Jest to funkcjonaá okre lony w zbiorze wszystkich 4-wymiarowych roz-
maito ci interpoluj cych pomi dzy
6
i
,
h
i
,
M
i

oraz
6
f
,
h
f
,
M
f

. T przestrze
b dzie oznaczaü si
P
6
i
,
h
i
,
M
i
;
6
f
,
h
f
,
M
f

.
Wniosek 3
OTW wymaga, aby
M
,
g

P
speániaáa Einsteinowskie równania pola. Za-
káada si , e w kosmologii kwantowej rozmaito ü
M
,
g

nie musi speániaü
równa pola. Ka da interpoluj ca historia musi byü rozmaito ci z brzegiem,
skáadaj cym si z dwóch skáadowych
6
i
i
6
f
.
Definicja 4
Dziaáanie dla grawitacji i pól materialnych jest zbudowane z trzech czáonów:
1
1
A
S
G
³
R
gd
4
x
S
G
³
TrK hd
3
x
C
³
L
m
gd
4
x
,
16
8
M
M
w
M
gdzie
R
jest skalarem Ricciego,
K
jest krzywizn zewn trzn , a
L
m
jest
Lagran janem dla materii, a dokáadnie g sto ci tego Lagran janu, poniewa
gd
4
x
jest elementem obj to ci na
M
,
g

. Wobec tego dziaáanie
A
jest
odwzorowaniem zbioru czasoprzestrzeni lorentzowskich
P
L
w zbiór liczb rze-
czywistych:
A
:
P
L
o
R
1
.
Odwzorowanie
S
jest funkcj nieograniczon na przestrzeni mo liwych historii
P
L
. W tym celu wprowadza si pewien czynnik wa cy udziaá ró nych historii.
Definicja 5
Wag nazywa si odwzorowanie:
§
iA
·
exp
¨ ¸
:
P
L
o
S
1
C
1
,
©
!
¹
które jest ju ograniczone.
Wniosek 4
A
A
§
iA
·
exp
¨ ¸
cos
i
sin
!
!
©
!
¹
TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ
105
jest funkcj ograniczon . Waga jest liczb w ogólno ci zespolon , przyporz d-
kowan historii, która wyra ona jest caák funkcjonaln .
Definicja 6
Propagatorem w kwantowej kosmologii nazywa si caák po historiach
P
L
od
§
iA
·
stanu pocz tkowego do stanu finalnego, zwa onych przez wag
exp
¨ ¸
©
!
¹
K
6
i
,
h
i
,
M
i
;
6
f
,
h
f
,
M
f

§
iA
·
exp
¨ ¸
d
P
,
³
©
!
¹
P
L
gdzie
d
P
jest miar w
P
L
.
McCabe utrzymuje, e Hawking, Hartle i Vilenkin, mówi c o kreacji Wszech-
wiata
ex nihilo,
maj na my li powstanie Wszech wiata, dla którego rozmaito ü
pocz tkowa jest zbiorem pustym, czyli:
6
i
,
h
i
,
M
i

O
Wówczas amplitud prawdopodobie stwa przej cia ze stanu
ex nihilo
do final-
nego stanu brzegowego
6
f
,
h
f
,
M
f

okre la wyra enie:
§
iA
·
K
O
;
6
f
,
h
f
,
M
f

³
exp
¨ ¸
d
P
.
©
!
¹
P
L
Uwaga 1
Istnieje wiele technicznych problemów z definicj propagatora poprzez Loren-
tzowsk caák po historiach. Po pierwsze, gdy do
P
L
wá czy si niezwarte czaso-
przestrzenie, dziaáanie mo e byü rozbie ne dla pewnych typów czasoprzestrzeni,
ma to miejsce np. dla czasoprzestrzeni jednorodnych
11
. Niezwarte, jednorodne
czasoprzestrzenie nie maj c dobrze zdefiniowanego dziaáania, nie mog zostaü
§
iA
·
zwa one przez exp
¨ ¸
.
©
!
¹
Uwaga 2
W ogólno ci
P
L
nie jest sko czenie wymiarow przestrzeni i nie istnieje
zadawalaj ca definicja miary na
P
L
. W konsekwencji caákowanie po
d
P
nie jest
§
iA
·
dobrze zdefiniowane. Trudno ü ta jest bardzo powa na. Chocia waga
exp
¨ ¸
©
!
¹
Warto przy tym zauwa yü, e w przypadku czasoprzestrzeni asymptotycznie páaskich i nie-
zwartych dziaáanie jest sko czone.
11

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin