matma- algebra(1).pdf

(1033 KB) Pobierz
Stanisław Białas, Adam Ćmiel, Andrzej Fitzke
Matematyka
dla studiów inżynierskich
cz.I Algebra i geometria
%*
$*
+
1573 pozycja wydawnictw dydaktycznych
Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie
c
Wydawnictwa AGH, Kraków 2000
ISSN 0239–6114
Redaktor Naczelny Uczelnianych Wydawnictw
Naukowo-Dydaktycznych:
prof. dr hab. inż. Andrzej Wichur
Z-ca Redaktora Naczelnego:
mgr Beata Barszczewska-Wojda
Recenzent:
prof. dr hab. inż. Stanisław Kasprzyk
Skrypt jest adresowany do studentów studiów inżynierskich AGH. Początkowe strony skryp-
tu, to powtórka zagadnień ze szkoły średniej, elementy logiki i teorii zbiorów.
W ramach algebry omówiono: liczby zespolone, macierze i wyznaczniki oraz układ równań li-
niowych. Wektory, geometria analityczna na płaszczyźnie i w przestrzeni, to hasła dotyczące
geometrii. Forma prezentacji matematyki w skrypcie jest bardzo elementarna. Oprócz defi-
nicji i twierdzeń zamieszczono dużo przykładów z rozwiązaniami, zrezygnowano z dowodów.
Na końcu każdego rozdziału podano zadania, przeznaczone do samodzielnego rozwiązania
przez Czytelnika.
The book (handbook) is intended mainly for engineering students of the Academy of Mining
and Metallurgy. On the firest pages of this book we revise some topics of secondary school
mathematics, logic and set theory. The next chapter covers complex numbers, matrices,
determinants and linear equations.
The vector algebra, plane analytical geometry and three dimentional geometry fill the last
chapter. The matter is presented in a very elementary way: the definitions, theorems as well
as a numerous solved examples are given, but we renounced the more detailed and rigorous
proofs. The reader interested in calculus can find the exercias at the and of any chapter.
Projekt okładki i strony tytułowej:
Beata Barszczewska-Wojda
Opracowanie edytorskie:
Ewa Kmiecik
Korekta:
Ewa Kmiecik
Układ typograficzny i skład komputerowy systemem TEX:
Jacek Kmiecik,
preT
Xt,
tel. 0 501 494 601
E
Redakcja Uczelnianych Wydawnictw Naukowo-Dydaktycznych
al. Mickiewicza 30, 30–059 Kraków
tel. 617–32–28, tel./fax 638–40–38
%*
$*
+
Spis treści
Wstęp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Powtórka wybranych zagadnień ze szkoły średniej
. . . . . .
1.1. Wartość bezwzględna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Przykłady funkcji odwrotnych. Funkcje cyklometryczne .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Elementy logiki i teorii zbiorów
. .
2.1. Rachunek zdań . . . . . . . .
2.2. Kwantyfikatory . . . . . . . .
2.3. Zbiory: definicje i oznaczenia
2.4. Działania na zbiorach . . . . .
2.5. Iloczyn kartezjański zbiorów .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
9
9
10
17
19
19
22
24
27
28
30
ALGEBRA
4. Wielomiany i funkcje wymierne
4.1. Wielomiany . . . . . . . .
4.2. Funkcje wymierne . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . .
%*
3. Liczby zespolone
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Definicje i działania na liczbach zespolonych .
3.2. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
3.3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej . .
3.4. Pierwiastek z liczby zespolonej . . . . . . . .
3.5. Postać wykładnicza liczby zespolonej . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
$*
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
41
43
46
51
53
55
55
58
59
60
60
62
64
64
65
65
5. Macierze i wyznaczniki
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Definicje i podstawowe rodzaje macierzy . . . . . . . . . .
5.3. Działania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Równość, dodawanie i odejmowanie macierzy . . .
5.3.2. Mnożenie macierzy przez skalar . . . . . . . . . . .
5.3.3. Mnożenie macierzy przez macierz, potęga macierzy
3
Spis treści
5.4. Macierze transponowane i ortogonalne . . . . . . . . .
5.5. Wyznacznik z macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1. Definicja wyznacznika . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2. Własności wyznacznika i twierdzenie Laplace’a
5.6. Rząd macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1. Definicja macierzy odwrotnej . . . . . . . . . .
5.7.2. Własności macierzy odwrotnej . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
68
71
71
73
79
84
84
87
88
6. Układy równań liniowych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Definicje i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Twierdzenie Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Praktyczne metody rozwiązywania układu równań liniowych
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 93
. 93
. 95
. 97
. 101
. 107
GEOMETRIA
7. Geometria analityczna
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Geneza geometrii analitycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Wektory, kąty i współrzędne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2. Rzut i współrzędna wektora na osi . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3. Kąt zwykły i skierowany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4. Kąty między wektorami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5. Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie . . . . . .
7.2.6. Wektory na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.7. Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni . . . . . . .
7.2.8. Wektory w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.9. Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . .
7.2.10. Współrzędne sferyczne w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . .
7.2.11. Kombinacja liniowa wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.12. Iloczyn skalarny wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.13. Iloczyn wektorowy wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.14. Iloczyn mieszany trójki wektorów . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Geometria analityczna na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Wiadomości ogólne o równaniach linii . . . . . . . . . . . . .
7.3.2. Równania parametryczne linii . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3. Punkty wspólne dwóch linii . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4. Równanie kierunkowe prostej na płaszczyźnie . . . . . . . . .
7.3.5. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty . . . . . .
7.3.6. Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . .
7.3.7. Równanie wektorowe i parametryczne prostej na płaszczyźnie
7.3.8. Odległość punktu od prostej na płaszczyźnie . . . . . . . . .
$*
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
113
113
113
113
115
116
119
119
120
122
123
126
127
129
133
135
139
142
145
145
145
147
147
148
149
151
153
4
%*
Spis treści
7.3.9. Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Geometria analityczna w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1. Równania płaszczyzny w przestrzeni . . . . . . . . . . . . .
7.4.2. Równania prostej w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3. Odległość punktu od prostej lub płaszczyzny w przestrzeni
7.4.4. Wzajemne położenie płaszczyzn i prostych w przestrzeni . .
7.4.5. Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny . . . . . . . . . . . .
7.4.6. Kąt między dwiema płaszczyznami . . . . . . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
154
156
158
158
161
164
166
173
174
175
Skorowidz oznaczeń
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
%*
$*
5
+

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin