optyka nieliniowa(1).pdf

(666 KB) Pobierz
Wstep do optyki nieliniowej
˛
Oddziaływanie ´
swiatła z materia jest bardzo słabe. Wielko´c oddziaływa-
s´
˛
nia mozna oceni´ porównujac natezenie pola np. w ´
c
swietle słonecznym
˛
˛˙
˙
(ok.
600
V /m)
z natezeniem pola atomowego (10
11
V /m).
Zmiany rozkładu
˛˙
chmury elektronów w wyniku oddziaływania ´
swiatła słonecznego z materia
˛
sa absolutnie do zaniedbania. Spodziewamy sie, ze nieliniowe oddziały-
˛
˛ ˙
wania stana sie istotne wtedy, gdy natezenie pola elektrycznego fali elek-
˛ ˛
˛˙
tromagnetycznej stanie sie porównywalne z polem wewnatrzatomowym.
˛
˛
Dopiero odkrycie laserów dało taka mozliwo´´, dlatego ze w ognisku zog-
sc
˛
˙
˙
niskowanej wiazki laserowej osiaga sie gesto´´ mocy rzedu
10
14
W/m
2
, co
˛
˛
˛ ˛
sc
˛
w przyblizeniu odpowiada natezeniu pola rzedu
10
8
V/m.
Juz w 1961
˛˙
˛
˙
˙
1
otrzymał druga harmoniczna, chociaz
P. A. Franken ze współpracownikami
˛
˛
˙
niektóre efekty nieliniowe były znane znacznie wcze´
sniej — przed odkryciem
laserów.
Podstawowym mechanizmem odpowiadajacym za efekty nieliniowe jest
˛
zniekształcenie chmur elektronowych
wokół atomów w polu elektrycznym
fali ´
swietlnej (b eda nas interesowały efekty optyczne). Powstaja drgajace
˛ ˛
˛
˛
dipole, a gesto´´ polaryzacji wynosi
˛
sc
~
P
=
N p,
~
gdzie
N
jest gesto´ a atomów.
˛
sci
˛
Wektor wymuszonej polaryzacji drga z czesto´cia wymuszajacego pro-
˛
s
˛
˛
mieniowania, co zgodnie z zasadami elektromagnetyzmu, prowadzi do
emisji promieniowania o tej samej czesto´ i w kierunku prostopadłym do
˛
sci
drgajacego dipola. Złozenie fali polaryzacji i wymuszajacej skutkuje pow-
˛
˛
˙
staniem fali o takiej samej czesto´ci poruszajacej sie w o´rodku z predko´ a
s
sci
˛
˛
s
˛
˛
˛
fazowa
˛
c
v
f
=
.
n
Z równa´ Maxwella wynika, ze
n
˙
p
√
n
=
ε
r
= 1 +
χ,
gdzie
ε
r
ε
0
=
ε
jest przenikalno´ a elektryczna o´
sci
˛
˛
srodka, a dla przypadku
jednowymiarowego
P
x
χ
≡
.
ε
0
E
x
O´
srodek b edzie liniowy, je´ zalezno´´ polaryzacji od natezenia pola
sli
˛
˛˙
˙
sc
elektrycznego b edzie liniowa. Kazde odstepstwo od liniowo´
P
(E)
ozna-
sci
˛
˛
˙
cza, ze mam do czynienia z efektami nieliniowymi.
˙
P. A. Franken, A. E. Hill, C. W. Peters, G. Weinrich,
Generation of optical harmonics,
Phys. Rev. Lett. 7, 118 (1961).
1
1
WSTEP DO OPTYKI NIELINIOWEJ
˛
a)
b)
Ośrodek
centrosymetryczny
Energia
potencjalna
P
nieliniowy
c)
Ośrodek
niecentrosymetryczny
P
nieliniowy
E
Przesunięcie
ładunku
x
E
liniowy
liniowy
Rys. 1. Energia potencjalna chmury elektronowej w przypadku o´rodka liniowego
s
(parabola przerywana) i nieliniowego (ciagła) (a).
˛
Zalezno´´ polaryzacji od natezenia pola dla o´rodka liniowego i nieliniowego
s
˛˙
˙
sc
centro (b) i niecentrosymetrycznego (c)
Na rys. 1 przedstawiono potencjał chmury elektronowej o´rodka. W przy-
s
padku małego przesuniecia (małe pole) potencjał jest paraboliczny, a od-
˛
działywania sa liniowe. Wzrost pola moze prowadzi´ do zachowa´ nielinio-
c
n
˛
˙
wych.
Innymi mechanizmami prowadzacymi do efektów nieliniowych jest orien-
˛
tacja molekularna, elektrostrykcja, absorpcja rezonansowa, nieelastyczne
zderzenia. Równiez efekty termiczne moga wywoływa´ zjawiska nieliniowe.
c
˛
˙
Uporzadkowanie w przestrzeni asymetrycznych czasteczek (np. ciekłego
˛
˛
kryształu) w polu np. elektrycznym jest ´ródłem
nieliniowo´ci orienta-
z
s
cyjnej.
Ustawione wzdłuz linii sił pola czasteczki o wydłuzonych kształ-
˛
˙
˙
tach posiadaja inny współczynnik załamania niz rozłozone przypadkowo.
˛
˙
˙
Prowadzi to do dwójłomno´ci o´rodka. Ogólnie polaryzowalno´´ o´rodka
s
s
sc s
jest wieksza je´ długa o´ pokrywa sie kierunkiem pola.
sli
s
˛
˛
Elektrostrykcja
jest wynikiem tendencji do obnizenia potencjalnej ener-
˙
gii w indukowanych dipolach przez przyłozone pole elektryczne (równiez
˙
˙
z wiazki ´wiatła) a wynikajacej z ruchu translacyjnego czasteczek. Indu-
s
˛
˛
˛
kowane dipole przesuwaja sie z obszaru mniejszego do obszaru wiekszego
˛ ˛
˛
pola elektrycznego. Elektrostrykcja powoduje wzrost gesto´ materiału
˛
sci
w obszarze wysokiego pola i ro´
snie współczynnik załamania. Moze to mie´
c
˙
wpływ na propagacje nie tylko wiazki pierwotnej, ale i innych rozchodzacych
˛
˛
˛
sie w obszarze pola. Jest to zjawisko powszechnie spotykane w o´
srodkach
˛
w róznych stanach skupienia. Elektrostrykcja jest efektem najwolniejszym
˙
z omawianych wyzej.
˙
2
Absorpcja rezonansowa
równiez prowadzi do zachowa´ nieliniowych, ta-
n
˙
kich jak: wybielanie optyczne, czy wielofotonowa absorpcja.
Z wazniejszych mechanizmów nieliniowym mozemy jeszcze wymieni´
c
˙
˙
zderzenia nieelastyczne i zwiazane z nimi wymuszone rozpraszane Brouil-
˛
loina i Ramana oraz efekty termiczne powodujace zmiane współczynników
˛
˛
załamania.
Polaryzacje rozwija sie w szereg potegowy
˛
˛
˛
˜
˜
˜
˜
P
(t) =
χ
(1)
E
(t) +
χ
(2)
E
2
(t) +
χ
(3)
E
3
(t) +
. . .
a)
Ośrodek
liniowy
P
b)
Ośrodek
kwadratowy
P
c)
Ośrodek
sześcienny
P
E
E
E
liniowy
liniowy
Rys. 2. Zalezno´´ polaryzacji od pola elektrycznego fali elektromagnetycznej
˙
sc
w róznych o´
srodkach
˙
W tym zapisie pola sa rzeczywiste, tak ze
˛
˙
˜
E
(t) =
E
0
exp (−iωt) +
c.c.
Czasem (poprawniej) stosuje sie zapis
˛
1
˜
E
(t) = [E
0
exp (−iωt) +
c.c.] .
2
Wreszcie w zapisie wektorowym z uwzglednieniem polaryzacji
˛
~
E
(r,
t)
= Re [~
A
(z,
t)
exp (ikz
−
ωt)]
= Re [~
E
0
(z,
t)
exp (−iωt)].
e
e
Do oceny wielko´ci składników rozwiniecia mozna wykorzysta´ półklasyczne
s
c
˛
˙
rozwazania Bloembergena wskazujace, ze kolejne warto´ maja sie do siebie
sci
˛ ˙
˛ ˛
˙
jak
E/E
in
, gdzie
E
jest natezeniem pola fali elektromagnetycznej, a
E
in
˛˙
oznacza elektryczne pole wewnatrzatomowe. Tak wiec
˛
˛
P
(n+1)
E
≈
,
E
in
P
(n)
3
WSTEP DO OPTYKI NIELINIOWEJ
˛
a to oznacza, ze dla wiazki laserowej ten stosunek jest co najmniej rzedu
˛
˛
˙
10
−3
, cho´ moze by´ znacznie wiekszy. Natomiast podatno´ci elektryczne
c
c
s
˛
˙
drugiego i trzeciego rzedu róznia sie o 7 rzedów.
˛
˛
˙ ˛ ˛
Rozwazania dotyczace nieliniowej polaryzacji ogranicza sie zwykle do
˛
˛
˙
nieliniowo´ trzeciego rzedu.
sci
˛
Miedzy trzema wektorami elektrycznymi w dielektryku obowiazuje re-
˛
˛
lacja
~
~ ~
D
=
ε
0
E
+
P .
Uwzgledniajac efekty nieliniowe
˛
˛
~
~
~
P
=
P
L
+
P
N L
,
zapiszemy
~
~
~ ~
D
=
ε
0
E
+
P
L
+
P
N L
.
Polaryzacje nielinowa przedstawimy nastepujaco
˛
˛
˛
˛
~
e
P
N L
= Re
~P
NL
exp (ik
p
z
−
ωt)
,
gdzie
k
p
jest wektorem falowym fali polaryzacji.
Równanie falowe
³
h
i
´
2
~
2
~
2
~
~
−
1
∂
E
−
4π
∂
P
L
= 4π
∂
P
N L
∇
×
∇
×
E
c
2
∂t
2
c
2
∂t
2
c
2
∂t
2
w przyblizeniu wolnozmiennej amplitudy przyjmuje posta´
c
˙
∂A
1
∂A
2πiω
2
NL
+
=
P
exp (i∆kz)
.
∂z
v
g
∂t
kc
2 0
gdzie
A
(z,
t)
jest amplituda pola elektrycznego fali,
∆k
=
k
p
−
k
oraz
v
g
˛
jest predko´ a grupowa.
sci
˛
˛
˛
Polaryzacja liniowa
~
P
L
=
ε
0
χ
E
ˆ
~
ma nastepujace składowe (w zapisie tensorowym)
˛
˛
P
iL
=
ε
0
3
X
j=1
χ
ij
E
j
.
Wektor polaryzacji nieliniowej ma posta´ zalezna od rzedu i rodzaju nielin-
c
˛
˙ ˛
iowo´ci. Na przykład dla nieliniowo´ drugiego rzedu składowa wektora
s
sci
˛
polaryzacji, zapisywana w postaci
~
~ ~
P
N L
=
ε
0
χ
NL
:
E E,
ˆ
4
wyraza sie przez tensor nieliniowo´
sci
˛
˙
P
iN L
=
3
X
χ
ijk
E
j
E
k
.
j,k=1
Przy oddziaływaniu trzech fal
ω
1
,
ω
2
i
ω
3
=
ω
1
+
ω
2
P
i
(ω
n
+
ω
m
) =
XX
χ
ijk
(ω
n
+
ω
m
,
ω
n
,
ω
m
)
E
j
(ω
n
)
E
k
(ω
m
)
jk
(mn)
Okazuje sie, ze na to by w pełni opisa´ to oddziaływanie w układzie karte-
c
˛ ˙
zja´ skim trzeba zna´ 324 zespolone liczby. Nie jest jednak az tak ´le.
n
c
z
˙
Poniewaz pola sa
fizyczne,
to musza by´ spełnione relacje pozwalajace
˛
˛
c
˛
˙
wyeliminowa´ czesto´ ujemne i połowe liczb mozna odrzuci´, ze wzgledu
c
˛
sci
c
˛
˛
˙
na symetrie wewnetrzna (ang.
intrinsic permutation symetry)
zostaje 81
˛
˛
˛
niezaleznych wyrazów, dla o´rodków bez strat podatno´´ elektryczna jest
s
sc
˙
rzeczywista pozostaje 27 elementów. Je´ rozwazamy generacje drugiej
sli
˛
˙
harmonicznej pozostanie 18.
Czesto nieliniowe optyczne oddziaływanie wprowadza optyczne fale, któ-
˛
rych czesto´´
ω
i
jest znacznie mniejsza niz najnizsza czesto´´ rezonansowa
˛
sc
˛
sc
˙
˙
o´
srodka. W takich przypadkach przenikalno´´ nieliniowa jest w zasadzie
sc
niezalezna od czesto´
z
˛
sci. Co za tym idzie, wska´niki macierzy mozna per-
˙
˙
mutowa´ bez permutacji czesto´ (warunek
symetrii Kleinmana).
Przy
c
˛
sci
spełnionych warunkach symetrii Kleinmana juz tylko 10 współczynników
˙
b edzie niezaleznych, a wystepuje jeszcze dodatkowa redukcja ich liczby ze
˛
˛
˙
wzgledu na symetrie krystaliczna.
˛
˛
˛
Wprowadza sie tensor
˛
1
(2)
d
ijk
=
χ
ijk
2
a wtedy nieliniowa polaryzacja ma posta´
c
P
i
(ω
n
+
ω
m
) =
XX
2d
ijk
E
j
(ω
n
)
E
k
(ω
m
)
.
jk
(mn)
Tensor jest symetryczny przynajmniej w dwóch ostatnich wska´nikach.
z
2
tam, gdzie spełniona jest symetria Kleinmana. Wtedy
Jest to słuszne
mozemy wprowadzi´ macierz
d
il
o wymiarach
3
3×6.
c
˙
Ogólne wyrazenie na polaryzacje w postaci rozwiniecia w zapisie ten-
˛
˛
˙
sorowym jest nastepujace
˛
˛
P
i
ω
2
=
P
i
0
+
Jak wida´ załozenie jest słuszne zawsze w przypadku generacji drugiej harmonicznej,
c
˙
poniewaz
ω
n
=
ω
m
.
˙
3
Na przykład: dla kwarcu rózne od zera sa:
d
11
i
d
14
, KDP —
d
14
,
d
36
[1].
˛
˙
3
X
j=1
ω
χ
ij
E
j
+
j=1
3
X
ω
χ
ij
∇E
j
+
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin