gwiazda_trojkat.pdf

(125 KB) Pobierz
Zamiana układów „gwiazda – trójkąt – gwiazda”
Ze schematów wynikają trzy zależności:
(1)
=
Z
1
+
Z
2
(2)
(3)
Z
12
(
Z
31
+
Z
23
)
Z
31
(
Z
12
+
Z
23
)
Z
23
(
Z
31
+
Z
12
)
=
=
Z
1
+
Z
3
Z
2
+
Z
3
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
•
Jeżeli mamy przekształcić
trójkąt w gwiazdę
, to mamy
dane
wartości impedancji Z
12
, Z
23
i Z
31
natomiast jako
niewiadome
– Z
1
, Z
2
i Z
3
. Rozwiązujemy trzy równania z trzema niewiadomymi.
Dla przykładu wyznaczymy wartość Z
1
:
z
(1)
i
(2)
wyznaczamy Z
2
i porównujemy oba wyniki:
Z
12
(
Z
31
+
Z
23
)
Z
23
(
Z
31
+
Z
12
)
=
−
Z
1
−
Z
3
(niewiadome to Z
1
i Z
3
)
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
Niewiadomą Z
3
wyznaczymy z
(2)
i podstawimy do tego wzoru. Otrzymamy:
Z
12
(
Z
31
+
Z
23
)
Z
23
(
Z
31
+
Z
12
)
Z
31
(
Z
12
+
Z
23
)
=
−
Z
1
−
+
Z
1
(jedna niewiadoma Z
1
)
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
Wyznaczając z powyższego równania Z
1
otrzymamy wynik :
Z
1
=
Z
12
Z
31
Z
23
Z
12
Z
31
Z
23
i podobnie:
Z
2
=
oraz
Z
3
=
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
*
Jeżeli mamy przekształcić
gwiazdę w trójkąt
, to mamy
dane
wartości impedancji Z
1
, Z
2
i Z
3
natomiast
jako
niewiadome
– Z
12
, Z
23
i Z
31
. Najprościej jest skorzystać z wyników . Rozwiązujemy trzy
równania z trzema niewiadomymi. Przekształcamy wyrażenia :
*
*
(b)
(c)
(a)
Z Z
Z Z
Z Z
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
=
12 31
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
=
12 23
Z
12
+
Z
23
+
Z
31
=
23 31
Z
1
Z
2
Z
3
Przykładowo wyznaczymy Z
12
. Z (b) wyznaczamy Z
31
(bo występuje tylko w jednym miejscu):
Z
12
Z
23
−
Z
12
−
Z
23
Z
2
podstawiamy tę wartość do (a) i (c) – otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi – Z
12
i Z
23
.
Z
=
31
(a)
Z Z
Z
12
(
12 23
−
Z
12
−
Z
23
)
Z Z
Z
2
Z
12
+
Z
23
+
12 23
−
Z
12
−
Z
23
=
Z
2
Z
1
Z Z
Z
23
(
12 23
−
Z
12
−
Z
23
)
Z Z
Z
2
(c)
Z
12
+
Z
23
+
12 23
−
Z
12
−
Z
23
=
Z
2
Z
3
po uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy:
(a)
(c)
Z
23
Z
23
Z
12
Z
12
Z
23
=
−
−
Z
2
Z
1
Z
2
Z
1
Z
1
Z
12
Z
23
Z
12
Z
12
Z
23
=
−
−
Z
2
Z
2
Z
3
Z
3
Z
3
teraz z (c) wyznaczamy Z
23
i po prostych przekształceniach otrzymujemy:
Z
23
=
Z
12
Z
2
+
Z
3
Z
12
−
Z
2
to wyrażenie podstawiamy do wzoru (a) i otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą – Z
12
Z
+
Z
3
Z
+
Z
3
Z
+
Z
3
Z
12 2
Z
12 2
Z
12
Z
12 2
Z
12
−
Z
2
Z
12
−
Z
2
Z
Z
12
−
Z
2
=
−
12
−
Z
2
Z
1
Z
2
Z
1
Z
1
Z
2
+
Z
3
Z
2
+
Z
3
Z
2
+
Z
3
Z
12
Z
12
−
Z
2
Z
12
−
Z
2
1
Z
−
Z
2
=
− −
12
Z
2
Z
1
Z
2
Z
1
Z
1
Z
1
(
a po uproszczeniu:
- wspólny mianownik:
Z
2
+
Z
3
Z
2
+
Z
3
Z
+
Z
3
)
Z
12
Z
2
(
2
)
Z
12
−
Z
2
Z
12
−
Z
2
Z
Z
12
−
Z
2
- czyli
=
−
2
−
Z
1
Z
2
Z
1
Z
2
Z
1
Z
2
Z
1
Z
2
Z
2
+
Z
3
Z
2
+
Z
3
Z
+
Z
3
- teraz kolejne uproszczenie:
Z
1
=
Z
12
−
Z
2
−
Z
2 2
Z
12
−
Z
2
Z
12
−
Z
2
Z
12
−
Z
2
Z
1
(
Z
2
+
Z
3
=
Z
12
(
Z
2
+
Z
3
)
−
Z
2
(
Z
12
−
Z
2
)
−
Z
2
(
Z
2
+
Z
3
) - pozbywamy się nawiasów.
)
2
2
Z
1
Z
2
+
Z
1
Z
=
Z
12
Z
2
+
Z
12
Z
3
−
Z
12
Z
2
+
Z
2
−
Z
2
−
Z
2
Z
3
- redukujemy wyrazy podobne
3
Z
1
Z
2
+
Z
1
Z
3
=
Z
12
Z
3
−
Z
2
Z
3
stąd:
Z
1
Z
2
Z
3
W identyczny sposób można wyznaczyć wartości Z
23
i Z
31
:
Z
12
=
Z
1
+
Z
2
+
Z
23
=
Z
2
+
Z
3
+
Z
2
Z
3
Z
1
Z
31
=
Z
3
+
Z
1
+
Z
3
Z
1
Z
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin