Kwanty-XVII.pdf

(221 KB) Pobierz
Wykład XVII
Mechanika kwantowa
Przekrój czynny i amplituda rozpraszania
Rozwa amy sytuację, kiedy wiązka
cząstek pada na próbkę materiału – tarczę i tory
cząstek ulegają zakrzywieniu. Definiujemy
ró niczkowy przekrój czynny
d
σ
, określając
d
Ω
prawdopodobieństwa na jednostkę czasu
P
(
Ω
)
d
Ω
zarejestrowania cząstki w kącie
bryłowym
d
Ω
rozproszonej pod kątem
Ω =
(
θ
,
ϕ
)
:
P
(
Ω
)
d
Ω =
S n
d
σ
d
Ω
,
d
Ω
gdzie
n
jest liczbą centrów rozpraszania w tarczy, a
S
jest strumieniem cząstek
wiązki, czyli liczbą cząstek padających na powierzchnię prostopadłą do
kierunku wiązki w jednostce czasu.
Jak pokazuje rysunek, liczba cząstek
dN,
które trafiają w
powierzchnię
A
w czasie
dt,
jest równa
dN
=
ρ
A
v
dt
, gdzie
ρ
jest gęstością cząstek, a v ich prędkością prostopadłą do
powierzchni. A poniewa
S
≡
1
dN
, znajdujemy strumień jako
A dt
S
=
ρ
v
.
Ró niczkowy
przekrój
czynny
d
σ
d
Ω
ma
wymiar
powierzchni. Jeśli trafi w nią cząstka wiązki, ulega
rozproszeniu w kąt bryłowy
d
Ω
. Wielkość
σ
≡
∫
d
Ω
d
σ
, to całkowity
d
Ω
przekrój czynny równy powierzchni, w którą musi trafić cząstka by ulec
rozproszeniu w jakikolwiek kąt.
Rozwa my klasyczne zderzenie cząstek o promie-
niach
a
i
b.
Jak wynika z rysunku całkowity przekrój
czynny na oddziaływanie tych cząstek to
σ
=
π
(
a
+
b
)
2
,
tzn.
środek
cząstki, powiedzmy, o promieniu
b
musi
trafić w powierzchnię
σ
=
π
(
a
+
b
)
2
, aby doszło do
zderzenia.
1
Wykład XVII cd.
Mechanika kwantowa
Kwantowo-mechaniczna definicja przekroju czynnego
Problem rozpraszania rozwa amy w układzie centrum masy systemu
pocisk-tarcza. Poniewa zakładamy nieobecność sił zewnętrznych, mamy do
czynienia z cząstką o masie zredukowanej układu pocisk-tarcza poruszającej
w potencjale reprezentującym oddziaływanie wzajemne. Przyjmujemy, e
cząstki padające na tarczę poruszają się wzdłu osi
z
i postulujemy, e funkcja
falowa cząstek padających i rozproszonych ma na du ych odległościach od
tarczy przybiera następującą postać asymptotyczną
1
ϕ
(r )
=
V
gdzie
k
≡
ikz
e
ikr
e
+
f
(
Ω
)
,
r
2
mE
jest wektorem falowym cząstki o energii
E
i masie
m.
Człon
h
e
ikr
e
ikz
odpowiada fali padającej,
jest kulistą falą rozproszoną,
f
(Ω)
to
r
amplituda rozpraszania,
V
jest czynnikiem wynikającym z „normalizacji w
pudełku”. Widzimy, e amplituda rozpraszania ma wymiar długości.
Prawdopodobieństwo rozproszenia cząstki na jednostkę czasu w kąt
bryłowy
d
Ω
równe jest
P
(
Ω
)
d
Ω =
N n
v
ϕ
s
(
r
)
r
2
d
Ω
,
gdzie
N
i
n
są, odpowiednio liczbą cząstek
padających i cząstek tarczy, v jest prędkością
1
e
ikr
ϕ
s
(
r
)
=
f
(
Ω
)
względną,
częścią
r
V
2
funkcji falowej odpowiadającą fali rozproszonej, a
r d
Ω
powierzchnią
podstawy sto ka pokazanego na rysunku. Poniewa
2
P
(
Ω
)
d
Ω =
ρ
n
v
d
σ
N
d
σ
2
d
Ω
, mamy
n
v
f
(
Ω
)
r
2
d
Ω =
ρ
n
v
d
Ω
czyli
d
Ω
V
d
Ω
d
σ
2
=
f
(
Ω
) .
d
Ω
2
Wykład XVII cd.
Mechanika kwantowa
Dalej będziemy zakładać, e, tak jak się dzieje w przypadku potencjałów
sferycznie symetrycznych, prawdopodobieństwo rozpraszania nie zale y od kąta
azymutalnego
ϕ
. Wówczas
f
(
Ω
)
=
f
(
θ
)
, a
d
σ
2
2
σ
≡
∫
d
Ω
=
2
π
∫
d
θ
sin
θ
f
(
θ
)
=
2
π
∫
d
(cos
θ
)
f
(
θ
)
.
d
Ω
0
−
1
π
1
Rozkład na fale parcjalne
Przyjmujemy, e potencjał oddziaływania jest sferycznie symetryczny,
więc funkcję falową mo na zapisać w postaci
ϕ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
∑ ∑
C
lm
R
l
(
r
)
Y
lm
(
θ
,
ϕ
)
,
l
=
0
m
= −
l
∞
l
gdzie
Y
lm
(
θ
,
ϕ
)
to harmoniki sferyczne. Skoro przyjęliśmy, e rozpraszanie nie
zale y od kąta azymutalnego
ϕ
, więc jedyną dopuszczalna wartością
m
jest
m
=
0
. Poniewa
Y
l
0
(
θ
,
ϕ
) ~
P
l
(cos
θ
)
, gdzie
P
l
(cos
θ
)
jest wielomianem
Legendre’a, rozkład funkcji falowej przyjmuje postać
ϕ
(
r
,
θ
)
=
∑
C
l
R
l
(
r
)
P
l
(cos
θ
)
.
l
=
0
∞
Rozkład danej wielkości na sumę wkładów o określonych
l
nosi
rozkładu na fale parcjalne.
nazwę
Gdy zasięg potencjału jest skończony, równanie Schrödingera dla du ych
r
jest równaniem swobodnym. Rozwiązanie takiego równania we współrzędnych
sferycznych zapisujemy jako
ϕ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
∑ ∑
C
lm
R
l
(
r
)
Y
lm
(
θ
,
ϕ
)
,
l
=
0
m
= −
l
∞
l
gdzie radialna część funkcji falowej równa jest
R
l
(
r
)
=
A
l
j
l
(
kr
)
+
B
l
n
l
(
kr
)
,
przy czym
j
l
(
x
)
i
n
l
(
r
)
to tzw. sferyczne funkcje Bessela, które dla
x
>>
l
(
l
+
1)
mo na przybli yć jako
1
π
l
j
l
(
x
)
≈
sin
x
−
,
x
2
1
π
l
n
l
(
x
)
≈ −
cos
x
−
.
x
2
3
Wykład XVII cd.
Mechanika kwantowa
Tak zatem radialną część funkcji falowej, opisującej rozpraszanie na potencja-
łach o skończonym zasięgu, zapisujemy jako
R
l
(
r
) ~
1
π
l
sin
kr
− +
δ
l
.
kr
2
Powy szy wzór mo na traktować jako definicję przesunięcia fazowego
δ
l
.
Funkcja falowa przyjmuje postać
∞
ϕ
(
r
,
θ
)
=
∑
l
=
0
C
l
π
l
sin
kr
− +
δ
l
P
l
(cos
θ
)
kr
2
C
l
i
π
l
i
π
l

P
l
(cos
θ
)
exp
ikr
−
+
i
δ
l
−
exp
−
ikr
+
−
i
δ
l
 
.
2
ikr
2
2

(*)
=
∑
l
=
0
∞
Uwaga:
Ś
ci
ś
le rzecz bior
ą
c powy szy wzór, który wyst
ę
puje bodaj we wszystkich
podr
ę
cznikach mechaniki kwantowej, jest matematycznie niepoprawny, gdy przy
sumowaniu po
l
do niesko
ń
czono
ś
ci nast
ę
puje w którym
ś
momencie naruszenie warunku
kr
>>
l
(
l
+
1)
. Jednak wyprowadzenia wykorzystuj
ą
ce takie (rozbie ne) szeregi s
ą
poprawne,
je
ś
li nie wykonywane jest sumowanie po
l
, a rozwa ane s
ą
jedynie wyrazy o okre
ś
lonym
l
.
Problem opisany jest w pracy: R. Maj and St. Mrówczy
ń
ski,
Inaccurate use of asymptotic
formulas
, American Journal of Physics
72
, 922 (2004).
Teraz dokonujemy rozkładu na fale parcjalne asymptotycznej funkcji
e
ikr
ikz
falowej
ϕ
(
r
,
θ
)
=
e
+
f
(
θ
)
, gdzie pomin
ę
li
ś
my czynnik normalizacyjny.
r
Fal
ę
padaj
ą
c
ą
rozkładamy dzi
ę
ki matematycznej to samo
ś
ci
exp
(
ikz
)
=
exp
(
ikr
cos
θ
)
=
∑
(2
l
+
1)
i
l
j
l
(
kr
)
P
l
(cos
θ
)
.
l
=
0
∞
Przybli aj
ą
c funkcje Bessela dla
x
>>
l
(
l
+
1)
jako
j
l
(
x
)
≈
sin
x
−
1
x
π
l
i zauwa aj
ą
c,
2
e
i
l
=
exp
i
dostajemy
2
π
l
exp
(
ikz
)
=
∑
l
=
0
∞
(2
l
+
1)
π
l
π
l
 
exp
i
sin
kr
−
P
l
(cos
θ
)
kr
2
2
 
(2
l
+
1)
P
l
(cos
θ
)
(
exp
(
ikr
)
−
exp
(
−
ikr
+
i
π
l
))
.
2
ikr
=
∑
l
=
0
∞
4
Wykład XVII cd.
Rozkładaj
ą
c amplitud
ę
rozpraszania jako
Mechanika kwantowa
f
(
θ
)
=
∑
l
=
0
∞
A
l
P
l
(cos
θ
)
2
ik
dostajemy
e
ikr
ϕ
(
r
,
θ
)
=
e
+
f
(
θ
)
r
∞
1
=
∑
P
l
(cos
θ
)
[
(2
l
+
1
+
A
l
) exp
(
ikr
)
−
(2
l
+
1) exp
(
−
ikr
+
i
π
l
)
]
2
ikr
l
=
0
ikz
(**)
Funkcj
ę
falow
ą
mamy wi
ę
c zapisan
ą
na dwa sposoby (*) i (**). Równo
ść
obu postaci dla wszystkich
r
wymaga, eby były sobie równe współczynniki
przy
P
l
(cos
θ
)
e
ikr
i przy
P
l
(cos
θ
)
e
−
ikr
. A zatem
π
l
C
l
exp
−
i
+
i
δ
l
=
(2
l
+
1)
+
A
l
,
2
C
exp
i
π
l
−
i
δ
=
(2
l
+
1) exp
(
i
π
l
)
,
l
l
2
co daje
π
l
C
l
=
(2
l
+
1) exp
i
+
i
δ
l
2
oraz
A
l
=
( 2
l
+
1)
(
exp
(
i
2
δ
l
)
−
1
)
.
Ostatecznie wi
ę
c mamy
f
(
θ
)
=
∑
l
=
0
∞
(2
l
+
1)
(
exp
(
i
2
δ
l
)
−
1
)
P
l
(cos
θ
)
2
ik
Widzimy, e przesuni
ę
cia fazowe s
ą
tak zdefiniowane, e gdy znikaj
ą
(
δ
l
=
0)
,
amplituda rozpraszania jest zerowa
(
f
(
θ
)
=
0)
. Metod
ę
rozkładu na fale
parcjalne stosuje si
ę
zwykle wtedy, gdy ju kilka pierwszych wyrazów szeregu
daje zadawalaj
ą
cy wynik.
Ró niczkowy przekrój czynny
d
σ
d
Ω
dany jest wzorem
2
d
σ
2
=
f
(
θ
)
=
d
Ω
(2
l
+
1)
∑
2
ik
(
exp
(
i
2
δ
l
)
−
1
)
P
l
(cos
θ
)
.
l
=
0
∞
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin