Zadania zPET-ów (15.09.2007)(1).doc

Oznaczenia

R(t)               -               funkcja niezawodności,

F(t)               -               funkcja zawodności,

ET              -              oczekiwany czas zdatności,

r(t)               -              pozostały oczekiwany czas zdatności,

f(t)              -              gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia,

l(t)              -              intensywność uszkodzeń,

m              -              intensywność odnowy.

Wzory ogólne

, ,

Rozkład wykładniczy czasu zdatności elementu

l              -  intensywność uszkodzeń elementu             

Dla elementu: , , ,

- dla rozkładu wykładniczego intensywność uszkodzeń elementu jest stała

- oczekiwany czas zdatności elementu,

- oczekiwany czas zdatności urządzenia,

- pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,

Rozkład jednostajny czasu zdatności elementu

k  -  kres górny czasu zdatności elementu

dla rozkładu jednostajnego gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu jest stała

Dla elementu: ,

  -

,

- oczekiwany czas zdatności elementu,

- oczekiwany czas zdatności urządzenia,

- pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,

Struktury niezawodnościowe

-  szeregowa

Funkcja niezawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji niezawodności poszczególnych elementów:

Intensywność uszkodzeń takiej struktury jest równa sumie intensywności uszkodzeń poszczególnych elementów:

-  równoległa

Funkcja zawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji zawodności poszczególnych elementów:

Rezerwa nieobciążona

Oczekiwany czas zdatności takiego układu jest równy sumie oczekiwanych czasów zdatności poszczególnych elementów:

Rezerwa obciążona (zwykłe równoległe połączenie)

Tu oczekiwany czas zdatności urządzenia liczymy wg wzoru całkowego. Pozostałe parametry [fu(t), lu(t)] liczymy z podstawowych wzorów.

Używane w zadaniach całki i pochodne

  ,    ,    , 

Zadanie 1

Urządzenia składa się z dwóch elementów. Uszkodzenie jednego z elementów powoduje uszkodzenie urządzenia. Intensywności uszkodzeń elementów nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane. Intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest znany, a jego wartość jest równa 66 [h] 40 [min]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów.

Rozkład  czasu zdatności elementu - wykładniczy

Dane: l1 = 2l2, ETu = 66 [h] 40 [min.]

Szukane: ET1 = ?, ET2 = ?

lu = l1 + l2,  l1 = 2l2 → lu = 3l2

→ → → ,

l1 = 2l2 → ,

Odp. ET1 = 100 [h], ET2 = 200 [h].

Zadanie 2

Urządzenia składa się z trzech elementów. Uszkodzenie jednego z elementów powoduje uszkodzenie urządzenia. Intensywności uszkodzeń elementów nie zależą od czasu. Intensywność uszkodzeń drugiego elementu jest trzy razy większa od intensywności uszkodzeń elementu pierwszego, a intensywność uszkodzeń elementu trzeciego jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 10 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów.

Rozkład  czasu zdatności elementu - wykładniczy

Dane: l2 = 3l1, l3 = 2l2, ETu = 10 [h]

Szukane: ET1 = ?, ET2 = ?, ET3 = ?

lu = l1 + l2 + l3,  l2 = 3l1, l3 = 2l2 → l3 = 6l1 → lu = l1 + 3l1 + 6l1 = 10l1

→ → → ,

l2 = 3l1 → ,

l3 = 6l1 → ,

Odp. ET1 = 100 [h], ET2 = 33 [h] 20 [min.], ET3 = 16 [h] 40 [min.].

Zadanie 3

Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z jednakowych elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu. Z ilu elementów składa się to urządzenie, jeżeli oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 500 [h], a intensywność uszkodzeń urządzenia jest równa 0,02 [1/h].

Rozkład  czasu zdatności elementu - wykładniczy

Dane: lu = 0,02 [1/h], ETe = 500 [h] 

Szukane: n = ? (ilość elementów, z których składa się dana struktura niezawodnościowa)

lu = le + le + … + le = n×le

→ → → n = lu×ETe = 10

Odp. Urządzenie składa się z 10 elementów.

Zadanie 4

Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i elementu rezerwowego będącego rezerwą obciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy
120 [h]. Wyznaczyć przedział czasu, w którym gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń urządzenia jest większa od gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.

Rezerwa obciążona

Rozkład  czasu zdatności elementu - jednostajny

Dane: ETe = 120 [h]

Szukane: przedział czasu, dla którego fu(t) > fe(t)

, , k = ?, Ru(t) = ?

→ → k = 240 [h]

, , →

, →

→ →

Odp.  t Î (120h, 240h>

Zadanie 5

Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą obciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 100 [h]. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń tego urządzenia.

Rezerwa obciążona

Rozkład  czasu zdatności elementu - jednostajny

Dane: ETe = 100 [h]

Szukane: fu(t) ...