W11_Liczby zespolone_1.pdf

(66 KB) Pobierz
11. LICZBY ZESPOLONE cz. 1
PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNOŚCI
Def. 11.1. (liczby zespolone)
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych np.
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
, dla których
określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący:
1. Równość liczb zespolonych
(
x
1
,
y
1
)
=
(
x
2
,
y
2
)
⇔
x
1
=
x
2
2. Dodawanie liczb zespolonych
3. Mnożenie liczb zespolonych
∧
y
1
=
y
2
(
x
1
,
y
1
)
+
(
x
2
,
y
2
)
=
(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)
.
(
x
1
,
y
1
)(
x
2
,
y
2
)
=
(
x
1
x
2
−
y
1
y
2
,
x
1
y
2
+
x
2
y
1
)
.
Uwaga.
Liczbę zespoloną
z
= (x,y) przedstawiamy na płaszczyźnie w postaci punktu o współrzędnych (x,y) lub
w postaci wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu w punkcie (x,y). W tej interpretacji zbiór wszystkich
liczb zespolonych tworzy płaszczyznę zespoloną.
Fakt 11.2 (własności działań w zbiorze liczb zespolonych)
Niech
z
1
,
z
2
,
z
3
będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy
1. dodawanie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
z
1
+
z
2
=
z
2
+
z
1
2. dodawanie liczb zespolonych jest łączne, tzn.
(
z
1
+
z
2
)
+
z
3
=
z
1
+
(
z
2
+
z
3
)
def
3. dla każdej liczby zespolonej
z
liczba zespolona
0
=
(0, 0)
spełnia równość
z
+
0
=
z
def
4. dla każdej liczby zespolonej
z
=
(
x
,
y
)
liczba
−
z
=
(
−
x
,
−
y
)
spełnia równość
z
+
(
−
z
)
=
0
5. mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
z
1
⋅
z
2
=
z
2
⋅
z
1
6. mnożenie liczb zespolonych jest łączne, tzn.
(
z
1
⋅
z
2
)
⋅
z
3
=
z
1
⋅
(
z
2
⋅
z
3
)
def
7. dla każdej liczby zespolonej
z
liczba zespolona
1
=
(1,0)
spełnia równość
z
⋅1 =
z
1
def
x
−
y
,
2
8. dla każdej liczby zespolonej
z
=
(
x
,
y
)
≠
0
liczba zespolona
=
2
spełnia równość
2
2
z
x
+
y x
+
y
1
z
⋅ =
1
z
9. mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.
z
1
⋅
(
z
2
+
z
3
)
=
z
1
⋅
z
2
+
z
1
⋅
z
3
.
Def. 11.3 (odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych)
Niech
z
1
,
z
2
∈
C
będą dowolnymi liczbami zespolonymi.
1. odejmowanie liczb zespolonych określamy wzorem:
def
z
1
−
z
2
=
z
1
+
(
−
z
2
)
2. dzielenie liczb zespolonych określamy wzorem:
z
1
def
1
=
z
1
⋅
, o ile
z
2
≠
0.
z
2
z
2
Fakt 11.4 (zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych)
Podzbiór
R
zbioru liczb zespolonych
C
złożony z liczb postaci (x,0), gdzie
x
∈
R,
ma następujące własności:
1.
(
x
1
,0)
+
(
x
2
,0)
=
(
x
1
+
x
2
,0)
,
3.
(
x
1
,0)
⋅
(
x
2
,0)
=
(
x
1
⋅
x
2
,0)
,
2.
(
x
1
,0)
−
(
x
2
,0)
=
(
x
1
−
x
2
,0)
,
4.
(
x
1
,0)
x
1
=
,0
, gdzie
x
2
≠
0.
(
x
2
,0)
x
2
Uwaga.
Z własności tych wynika, zbiór
R
można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych
R.
Będziemy
pisali
x
zamiast (x,0); w szczególności 0 = (0,0) oraz 1 = (1,0).
POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 11.5 (jednostka urojona)
Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez
i;
def
i
=
(0,1)
.
Uwaga.
Zauważmy,
że
i
2
=
i
⋅
i
=
(
0,1
)(
0,1
)
=
(
−
1, 0
)
= −
1
.
Fakt 11.6 (postać algebraiczna liczby zespolonej)
Niech
z
=
(
x
,
y
)
,
x
,
y
∈
R
. Wtedy
z
=
(
x
, 0
)
+
(
0,
y
)
=
(
x
, 0
)
+
(
0,1
)(
y
, 0
)
, a więc każdą liczbę zespoloną
można jednoznacznie zapisać w tzw. postaci algebraicznej:
z
=
x
+
iy
.
Def. 11.7 (część rzeczywista i urojona liczby zespolonej)
Niech
x
+
iy
będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej
z.
Wówczas
def
1. liczbę
x
nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej
z,
co zapisujemy
Re
z
=
x
,
def
2. liczbę
y
nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej
z,
co zapisujemy
Im
z
=
y
.
Fakt 11.8 (o równości liczb zespolonych w postaci algebraicznej)
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, tzn.
Re
z
1
=
Re
z
2
z
1
=
z
2
⇔
.
Im
z
1
=
Im
z
2
SPRZĘŻENIE I MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 11.9 (sprzężenie liczby zespolonej)
Sprzężeniem liczby zespolonej
z
=
x
+
iy,
gdzie
x, y
∈
R,
nazywamy liczbę zespoloną
z
określoną wzorem:
def
z
=
x
−
iy
.
Fakt 11.10 (własności sprzężenia liczb zespolonych)
Niech
z, z
1
,
z
2
∈
C.
Wtedy
1.
z
1
+
z
2
=
z
1
+
z
2
2.
z
1
−
z
2
=
z
1
−
z
2
3.
z
1
⋅
z
2
=
z
1
⋅
z
2
5.
z
+
z
=
2 Re
z
6.
z
−
z
=
2
i
Im
z
7.
(
z
)
=
z
8.
Im
(
z
)
= −
Im
(
z
)
z
4.
1
z
2
z
1
=
z
, o ile
z
2
≠
0
2
Def. 11.11 (moduł liczby zespolonej)
Modułem liczby zespolonej
z
=
x
+
iy,
gdzie
x, y
∈
R,
nazywamy liczbę rzeczywistą |z| określoną wzorem:
z
=
x
2
+
y
2
.
Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Geometrycznie moduł
liczby zespolonej
z
jest odległością punktu
z
od początku układu współrzędnych.
def
Fakt 11.12 (własności modułu liczby zespolonej)
Niech
z
,
z
1
,
z
2
∈
C
. Wtedy
1.
z
=
z
= −
z
2.
z
1
⋅
z
2
=
z
1
⋅
z
2
3.
4.
z
1
+
z
2
≤
z
1
+
z
2
5.
z
⋅
z
=
z
2
z
1
z
1
=
, o ile
z
2
≠
0
z
2
z
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin