W9_Całka oznaczona.pdf

(41 KB) Pobierz
9. CAŁKA OZNACZONA
PODSTAWOWE DEFINICJE I OZNACZENIA
Def. 9.1 (podział przedziału)
Podziałem przedziału [a,b] na
n
części
(
n
∈
N
)
nazywamy zbiór
P
n
=
{
x
0
,
x
1
,...,
x
n
}
,
gdzie
a
=
x
0
<
x
1
< ... <
x
n
=
b.
Oznaczenia
∆x
k
=
x
k
-
x
k-1
– długość
k-tego
przedziału dla podziału
P
n
, 1
≤
k
≤
n;
δ
n
= max{∆x
k
: 1
≤
k
≤
n
} –
średnica
podziału
P
n
;
∗
x
k
∈
[
x
k
−
1
,
x
k
]
, punkt pośredni
k-tego
przedziału dla podziału
P
n
, 1
≤
k
≤
n.
Def. 9.2 (suma całkowa)
Niech funkcja
f
będzie ograniczona na przedziale [a,b] oraz niech
P
n
będzie podziałem tego
przedziału. Sumą całkową funkcji
f
odpowiadającą podziałowi
P
n
przedziału [a,b] oraz punktom
∗
pośrednim
x
k
(1
≤
k
≤
n)
tego podziału nazywamy liczbę
∗
σ
n
=
∑
f
(
x
k
)
∆
x
k
.
k
=
1
def
n
Def. 9.3 (ciąg normalny podziałów)
Niech
(
P
n
)
b
ę
dzie ci
ą
giem podziałów przedziału [a,b]. Ci
ą
g
(
P
n
)
nazywamy ci
ą
giem normalnym
podziałów, je
ż
eli odpowiadaj
ą
cy mu ci
ą
g
ś
rednic jest zbie
ż
ny do zera, tj.
lim
δ
n
=
0 .
n
→∞
Def. 9.4 (całka oznaczona Riemanna)
Je
ż
eli dla ka
ż
dego ci
ą
gu normalnego podziałów przedziału [
a
,
b
] ci
ą
g sum całkowych
(
σ
n
)
jest
∗
zbie
ż
ny do tej samej granicy wła
ś
ciwej, niezale
ż
nej od wyboru punktów
x
k
, to t
ę
granic
ę
nazywamy całk
ą
oznaczon
ą
Riemanna funkcji
f
na przedziale [
a
,
b
] i oznaczamy symbolem
b
∫
f
(
x
)
dx
.
a
Podan
ą
definicj
ę
całki oznaczonej Riemanna mo
ż
na zapisa
ć
krótko w nast
ę
puj
ą
cy sposób
b
∫
a
∗
f
(
x
)
dx
=
lim
∑
f
(
x
k
)
∆
x
k
def
n
δ
n
→
0
k
=
1
o ile granica po prawej stronie znaku równo
ś
ci istnieje oraz nie zale
ż
y od sposobu podziałów
P
n
∗
przedziału [
a
,
b
] ani od sposobu wyboru punktów po
ś
rednich
x
k
, 1
≤
k
≤
n
.
Ponadto definiujemy
a
∫
f
(
x
)
dx
=
0
a
def
a
oraz
∫
f
(
x
)
dx
= −
∫
f
(
x
)
dx
dla
a
<
b
.
b
a
def
b
Funkcj
ę
, dla której istnieje całka oznaczona Riemanna na [
a
,
b
] nazywamy funkcj
ą
całkowaln
ą
w
sensie Riemanna na przedziale [
a
,
b
]. Przedział [
a
,
b
] nazywamy przedziałem całkowania,
a-
doln
ą
granic
ą
całkowania,
b-
górn
ą
granic
ą
całkowania,
f
(
x
)
- funkcj
ą
podcałkow
ą
.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ
Pole trapezu krzywoliniowego
Niech
D
oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji
f
ci
ą
głej o warto
ś
ciach
nieujemnych, osi
ą
Ox
oraz prostymi
x
=
a
,
x
=
b
. Pole |
D
| trapezu krzywoliniowego jest granic
ą
sumy pól prostok
ą
tów
∆
D
k
aproksymuj
ą
cych ten trapez, gdy
ś
rednica podziału
δ
n
→
0
.
D
=
lim
∑
∆
D
k
=
lim
∑
f
(
x
)
∆
x
k
=
∫
f
(
x
)
dx
.
δ
n
→
0
k
=
1
n
n
δ
n
→
0
k
=
1
∗
k
b
a
PODSTAWOWE TWIERDZENIA
Tw. 9.5 (warunek wystarczający całkowalności funkcji)
Je
ż
eli funkcja
f
jest ograniczona na przedziale [
a
,
b
] i ma na tym przedziale sko
ń
czon
ą
liczb
ę
punktów nieci
ą
gło
ś
ci I rodzaju, to jest na nim całkowalna.
Tw. 9.6 (Newtona – Leibniza, I główne twierdzenie rachunku całkowego)
Je
ż
eli funkcja
f
jest ci
ą
gła na przedziale [
a
,
b
], to
b
∫
f
(
x
)
dx
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
,
a
gdzie
F
jest dowoln
ą
funkcj
ą
pierwotn
ą
funkcji
f
na przedziale [
a
,
b
].
Uwaga.
Zamiast
F
(
b
)
−
F
(
a
)
zapisujemy
F
(
x
)
a
lub
[
F
(
x
)
]
a
.
b
b
Tw. 9.7 (o liniowości całki oznaczonej)
Je
ż
eli funkcje
f
i
g
s
ą
całkowalne na przedziale [a,b] oraz
c∈R,
to
a) funkcja
f
±
g
jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz
∫
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
dx
=
∫
f
(
x
)
dx
±
∫
g
(
x
)
dx
,
a
a
a
b
b
b
b) funkcja
cf
jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz
b
b
∫
cf
(
x
)
dx
=
c
∫
f
(
x
)
dx
.
a
a
Tw. 9.8 (o całkowaniu przez podstawienie dla całki oznaczonej)
Je
ż
eli
1. funkcja
ϕ
:
[
α
,
β
]
→
[
a
,
b
]
ma ci
ą
gł
ą
pochodn
ą
na przedziale [
α
,
β
],
2.
ϕ
(
α
)
=
a
,
ϕ
(
β
)
=
b
,
3. funkcja
f
jest ci
ą
gła na przedziale [a,b],
to
na
b
∫
a
b
f
(
x
)
dx
=
∫
f
(
ϕ
(
t
)
)
ϕ
/
(
t
)
dt
.
α
β
Tw. 9.9 (o całkowaniu przez części dla całki oznaczonej)
Je
ż
eli funkcje
f
i
g
maj
ą
ci
ą
głe pochodne na przedziale [a,b], to
∫
f
a
/
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
−
∫
f
(
x
)
g
/
(
x
)
dx
.
b
a
a
b
Tw. 9.10 (addytywność względem przedziałów całkowania)
Je
ż
eli funkcja
f
jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz
c
∈
(a,b), to
b
c
b
∫
f
(
x
)
dx
=
∫
f
(
x
)
dx
+
∫
f
(
x
)
dx
.
a
a
c

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin