W8_Całka nieoznaczona_2.pdf

(47 KB) Pobierz
8. CAŁKA NIEOZNACZONA – cz. II
CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Fakt 8.13 (całkowanie funkcji postaci
sin
n
x
cos
m
x
,
n
,
m
∈
N
)
1).
n
,
m
∈
N
i przynajmniej jedna z pot
ę
g jest nieparzysta. Na przykład niech
m=2k+
1, wówczas
I
=
∫
sin
n
x
cos
m
xdx
=
∫
sin
n
x
(
cos
2
x
)
cos
xdx
=
∫
sin
n
x
(
1
−
sin
2
x
)
cos
xdx
k
k
sin
x
=
t
cos
xdx
=
dt
=
∫
t
n
(
1
−
t
2
)
dt
k
Uwaga
Analogicznie post
ę
pujemy, gdy
n=2k+
1 lub gdy obydwa wykładniki s
ą
nieparzyste.
2).
n
,
m
∈
N
oraz
n
i
m
s
ą
liczbami parzystymi. Wówczas przekształcamy nast
ę
puj
ą
co
2
k
2
l
2
k
2
∫
sin
x
cos
xdx
=
∫
sin
x
(
1
−
sin
x
)
dx
l
lub
∫
sin
2
k
x
cos
xdx
=
∫
(
1
−
cos
x
)
cos
2
l
xdx
.
2
l
2
k
Nast
ę
pnie stosujemy odpowiedni wzór rekurencyjny
1
n
−
1
n
−
2
sin
n
xdx
= −
cos
x
sin
n
−
1
x
+
∫
∫
sin
xdx
,
n
≥
2,
n
n
n
∫
cos
xdx
=
1
n
−
1
n
−
2
sin
x
cos
n
−
1
x
+
∫
cos
xdx
,
n
≥
2.
n
n
Fakt 8.14 (całkowanie funkcji postaci
R(sinx,cosx,tgx))
Do obliczania całek postaci
∫
R
(sin
x
, cos
x
,
tgx
)
dx
gdzie
R
jest funkcj
ą
wymiern
ą
, stosujemy nast
ę
puj
ą
ce podstawienie (tzw. podstawienie
uniwersalne)
x
tg
=
t
.
2
Wówczas
dx
=
2
dt
,
2
1
+
t
sin
x
=
2
t
,
2
1
+
t
2
t
.
1
−
t
2
1
−
t
2
cos
x
=
,
1
+
t
2
tgx
=
Stosuj
ą
c powy
ż
sze podstawienie otrzymujemy całk
ę
funkcji wymiernej.
Fakt 8.15 (całki funkcji postaci
sin
ax
cos
bx
,
sin
ax
sin
bx
,
cos
ax
cos
bx
,
a
≠
b
)
Do obliczania całek postaci
∫
sin
ax
cos
bxdx
,
∫
sin
ax
sin
bxdx
,
∫
cos
ax
cos
bxdx
,
sin
ax
cos
bx
=
1
[
sin
(
a
+
b
)
x
+
sin
(
a
−
b
)
x
]
2
a
≠
b
wykorzystujemy wzory, które iloczyn funkcji trygonometrycznych zamieniaj
ą
na sum
ę
:
sin
ax
sin
bx
=
cos
ax
cos
bx
=
1
[
cos
(
b
−
a
)
x
−
cos
(
a
+
b
)
x
]
2
1
[
cos
(
b
−
a
)
x
+
cos
(
a
+
b
)
x
]
2
CAŁKOWANIE FUNKCJI Z NIEWYMIERNOŚCIAMI
p
1
p
2
p
k
ax
+
b
q
k
 
ax
+
b
q
1
ax
+
b
q
2
Fakt 8.16 (całki postaci
∫
R
x
,
,
,...,
cx
+
d
 
cx
+
d
 
cx
+
d
dx
)
dx
Dla całki postaci
p
1
p
2
p
k
ax
+
b
q
k
 
ax
+
b
q
1
ax
+
b
q
2
R
x
,
,
,...,
∫
cx
+
d
 
cx
+
d
cx
+
d
gdzie
R-
funkcja wymierna, stosujemy nast
ę
puj
ą
ce podstawienie
ax
+
b
S
=
t
cx
+
d
gdzie
s
=
NWW
{
q
1
,
q
2
,...,
q
k
}
a nast
ę
pnie obliczamy
x
oraz
dx
W
n
(
x
)
ax
+
bx
+
c
2
Fakt 8.17 (całki postaci
∫
dx
)
ax
+
bx
+
c
współczynników nieoznaczonych, tzn. całk
ę
zapisujemy nast
ę
puj
ą
co
2
Dla całki postaci
∫
W
n
(
x
)
dx
,
gdzie
W
n
(
x
)
-
wielomian
n-
tego stopnia, stosujemy metod
ę
∫
W
n
(
x
)
ax
2
+
bx
+
c
dx
=
V
n
−
1
(
x
)
ax
2
+
bx
+
c
+ λ
∫
dx
ax
2
+
bx
+
c
V
n
−
1
(
x
)
- wielomian (n-1)-ego stopnia o współczynnikach nieoznaczonych. W celu wyznaczenia
współczynników wielomianu
V
n
−
1
(
x
)
oraz stałej
λ
ró
ż
niczkujemy obustronnie powy
ż
sz
ą
to
ż
samo
ść
i otrzymujemy
W
n
(
x
)
ax
2
+
bx
+
c
′
=
V
n
−
1
(
x
)
ax
2
+
bx
+
c
+
V
n
−
1
(
x
)
b
λ
2
+
ax
2
+
bx
+
c
ax
2
+
bx
+
c
ax
+
nast
ę
pnie mno
ż
ymy obustronnie przez
ax
2
+
bx
+
c
i otrzymujemy
b
′
W
n
(
x
)
=
V
n
−
1
(
x
)
ax
2
+
bx
+
c
+
V
n
−
1
(
x
)
ax
+
+ λ
2
Otrzymujemy równo
ść
dwóch wielomianów. Porównuj
ą
c współczynniki przy zmiennej w tej samej
pot
ę
dze uzyskujemy współczynniki wielomianu
V
n-1
(x)
oraz warto
ść
stałej
λ
.
Ostatnim etapem jest obliczenie
I
1
(
)
I
1
=
∫
dx
ax
2
+
bx
+
c
Całk
ę
I
1
da si
ę
sprowadzi
ć
do jednej z dwóch postaci w zale
ż
no
ś
ci od znaku współczynnika
a
∫
a
>
0
dx
ax
2
+
bx
+
c
∫
dt
t
+
p
2
=
ln
t
+
t
2
+
p
+
C
a
<
0
dt
∫
1
−
t
2
=
arcsin
t
+
C
Fakt
8.18
(ważniejsze wzory dla całek funkcji z niewymiernościami)
Wzór
Zało
ż
enia
x
<
a
x
2
+
k
>
0
∫
∫
∫
∫
a
2
−
x
2
dx
2
∫
x
2
+
k
=
ln
x
+
x
+
k
+
C
x
2
a
2
x
2
2
2
a
−
x dx
=
a
−
x
+
arcsin
+
C
2
2
a
x
2
a
2
x
2
dx
= −
a
−
x
+
arcsin
+
C
2
2
a
a
2
−
x
2
x
2
k
x
2
+
k dx
=
x
+
k
+
ln
x
+
x
2
+
k
+
C
2
2
x
2
dx
x
2
k
=
x
+
k
−
ln
x
+
x
2
+
k
+
C
2
x
2
+
k
2
x
2
∫
dx
=
arcsin
x
+
C
a
x
≤
a
x
<
a
x
2
+
k
≥
0
x
2
+
k
>
0

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin