egz_AM_EiT_2013-14.pdf

(62 KB) Pobierz
Egzamin z przedmiotu „Analiza matematyczna I”
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2013/2014
1. [9p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
a)
dx
2 + tg
x
+∞
b)
1
xe
−x
dx
2
[3p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę ctg
n
xdx.
............................................................................................
2. [9p.] a) Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi
OX
obszaru
√
ograniczonego funkcją
y
= 4 +
x
i osią
OX
w zakresie od
x
=
−4
do
x
= 2. Wykonać rysunek
otrzymanej bryły.
[3p.] b) Wykorzystując własności całek z funkcji nieparzystych lub nieparzystych uzasadnić
4
4
√
√
równość
x
2
+ 1 cos
xdx
= 2
x
2
+ 1 cos
xdx.
. . . . . . .
−4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
zy
1
3. [9p.] a) Dla funkcji
f
(x,
y, z)
=
xy−ze
y
−
+ wyznaczyć zbiór
D
tych punktów (x,
y, z)
∈
R
3
,
x z
dla których spełniona jest równość
1
∂
4
f
(x,
y, z)
=
∂x
2
∂y∂z
4
[3p.] b) Stosując różniczkę zupełną funkcji dwóch zmiennych obliczyć przybliżoną wartość
√
√
2
wyrażenia
15
−
99 .
............................................................................................
4. [9p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji
g(x, y)
=
x
2
−
4y
2
w obszarze
D
określonym nierównością
x
2
+
y
2
1.
[3p.] b) Określić wartość funkcji
f
(x,
y)
= 1 +
x y
w punkcie (0, 1) tak, aby była ona ciągła
w tym punkcie.
............................................................................................
√
5. [9p.] a) Obliczyć pole powierzchni płata wyciętego z powierzchni
z
=
x
2
+
y
2
przez powierzchnię
x
2
+
y
2
−
2y = 0. Wykonać rysunek.
[3p.] b) Zdefiniować obszar na płaszczyźnie normalny względem osi
OX.
............................................................................................
6. *) [dla
chętnych]
[5p.] Wyprowadzić wzór na objętość kuli o promieniu
R.
2
2
x
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin