Matematyka Korepetycje 2 Funkcje liniowe kwadratowe wielomianowe.pdf

(7111 KB) Pobierz
LICEUM, TECHNIKUM
FUNKCJE LINIOWE,
KWADRATOWE,
WIELOMIANOWE
szczegółowe rozwiązania
wraz z opisem
zadań
,
z jakimi
spotkasz
się
na lekcjach matematyki,
~
w zadaniach domowych i na klasówkach.
szOOku
Spis
treści
„
....
.
„ ...
O
unkcja
liniowa
-
definicje
........................................ ...........
.....
„
Podstawowe
metody
Uk
łady
ni
erówności
rozwi
ązywania uk ładów równań
przy k
łado
we
9
liniowych
z
dwiema niewiadomymi
-
Równania i
-
nierówności
zadania
...
„
....•..•• „ „ •
•
„
•.• „ „ ....
.
•
....
..
.
.
..
.
16
24
33
41
liniowych
z
pr klado we zadania ...... ... ....
„
q
wartośc
ią bcrn1zgl<;dną
p
rzykładowe
zadania
.
„
....
„
...
„
„ „
„ „ „ „ „ .
. „ .. „ „
„
.
„
„ „ „ „ „ „ . „
„
..
„
„ „
„
.
„ . „
.
Q
Funkcja kwadratowa
-
de
fi
nicje
..
„
Równania kwadratowe
-
N
i
e
równości
........
.
.. „
„ „ „ „ „
„
„ „ „ „ .
. „
„ „ .
„
.
„
.....
„
przyk
ładowe
zadania
„„„„„„.„.„„
„
„„„„„
„„„.
.
„.„„„„„„„„„„
43
55
69
76
76
80
kwadratowe
-
p
rzyk
ł
adowe
zadania
.........
„
defin icje
d
Równan
ia
i
nierówności
wielomia
nowe
przy
kładowe
. „ „ .
„
.
..
..
.. ..
.......... .
.
.
„
„
.
..
.
„ ...
„ .
.
„
. „
Równania
wielomianowe
-
B.
Równania
N
i
e
równośc i
zadania
„ „ „ „ „
„
na
czynniki
„
A.
Równania
dwukwadratowe
rozw
i
ązywane
„
„
. „ . „ . „ „
„
„ . „ .
„
.
.... „
.. „
„
.
„
.
„
„
..
„ .
„
.
. „ „ .
.
.. „
przez
rozkład
„
..
„ .......
.
..
.
..
.
..
.
.
w
ielomianowe
p
rzykładowe
zadania ..
„ „ „ „ . „ . „ ............. ..
86
. „ . „ . „ „ „ „ . „ „ .. „
„.
0
R
ównania
i
N
i
e
rów
n
ości
nierówności
wymierne
przyk
ł
a
dowe
defin
icje
..
„ . „
.
„
zadania
„ „
.„
.
„
zadania
95
95
I
08
Równania
wymierne
-
wymierne
.„
.
„
„
.„ „ „ „
„
„ „
.. „
.
„
„
.
przykładowe
„ .
„
„
.•• „ . „ .•. „ .
„
.
„ „
..
„
.„.
3
tUtvl'(~A
UtvłOWA
tvit~fWlYO~(i
•••1b9SiAlilDWE
t'lETOJ)I(
RoZ(J.)~Z'łWANIA
tl~~
R@l.\lt-1).\1<
L.lt-llOLilVl\.l
Z
JtUDM,A
l-.\IE.~AJ)Ot1YM1
•••
~fWlYAlYiA
szOOku
Funkcja liniowa
DEFI NICJE
nazywamy
fu
nkcj
ęx
__,,
y
=
ax
+
b,
x
E
R, gdzie
x
jest argu-
mentem
funkcj
i,
Il
jest
współczy nni
k
i
e
m
kierunkowym,
b
wyrazem wolnym.
Funkcj
ą
liniową
Wykresem funkcj
i
x
__,,
y
=
ax
+
b,
x
E
R,
j
est
linia
prosta
nachylona
do osi
OX
pod
takim
kątem
a,
że
tga
=
a.
Prosta ta przecina
o
ś
OY w punkcie,
którego
rzędna
równa
s
i
ę
b.
Jeżeli
są
dwie proste /:
y
=
a,x
+
b
,
k
:y=
ai"·
+
b
2
r
ównolegle, to
wspó
łczynn ik
i
kierunkowe tych prostych
I
Jl
k
t;=;
są
równe
a,=a,
P
roste:
/
:
y=
a,x
+
b
,
k:
y=
a.,-r
+
b
2
są
prostopad
łe
wtedy
i
tylko
wtedy,
gdy
ich
współczynniki
kierunkowe
spe!-
n
iają
warunek:
a,
·
a
2
=
-
I
I
1-
k
t;=;
a,
·
a
1
=
-
I
P
unkt
A
(111 ,
11)
tej
prostej.
n
ależy
do
prostej
wtedy
i tylko wtedy, gdy
spełnia
równanie
Twierdzenie:
Funkcja li
niowa
y
=
ax
+
b,
x
E
R jest:
•
ro
snąca
w
R,
wtedy gdy
a
>
O,
•
malej ąc
a
w
R,
wtedy gdy
a
<
O
,
•
s
tała
w R, wtedy gdy
a
=
O.
Twier dzenie:
Każd a
fu
nkcj a
liniowa
y
=
ax
+
b,
gdy
a
„
Ojest
funkcją różnowartośc iową.
9
Funkcja liniowa
PRZYKŁAD:
Rozwiązanie:
Funkqa liniowa
l:y=
-
5x=
1
Na
leży
napi
sać
wzór funkcj
i
liniowej
y
=
ax
+
b.
Poszukujemy
współczynnika
kierunkowego
a
i
wyrazu wolnego
b.
1
3
x
+2
.
kierunkowe tych prostych
Czy
A
(O, 1)
na
l
eży
do
prostej
r!
Tak, bo
po
wstawieniu
za
x
=O, za
y
=
1
otrzymujemy
prawdziwe równanie
l
=
5·0+
1
=
1
Czy
B
(I,
5)
należy
do
prostej
I?
Nic,
bo po
wstawieniu
za
x
=
I
,
y
5
=
I ·
5
+
I
5
Jak
znaleźć
a?
Szukana
prosta jest
prostopad
ła
do
y
To oznacza,
że współ
czynni
k
i
spelniają
równanie
*
-4
5
otrzymujemy
równanie
_
.!.·
a
=-1 /
·(-
3)
3
a
=3
Szukana
prosta
ma
postać
y
ZADANIE
I
Napisz
wzór funkcji
liniowej,
której
wykres jest
równo
legły
do
wykresu
y-
2r
..-
I
i
przechodzi
przez
punkt
A(
1,
5).
Rozwiązan ie:
3x
ł
b.
Jak
znaleźć
b?
Wiemy,
że
prosta
y
=
3x
+
b
p17cchodzi przez punkt
B(-
2,
I).
To
oznacza,
że
po
wstawieniu w
miejsce
x
=
2
i
w
miejsce
y
I otrzymamy równanie prawdziwe
1
=
3
·
(-2)
+
b.
Inaczej
-6
+
h
I.
Stąd
b
=
7.
Trzeba
napisać
wzór funkcji
liniowej,
czyli
innymi
słowy
wyznaczyć
y
=
ax-+
b.
Poszuk ujcmywspółczynnika
kierunkowego
a
i
wyrazu wolnego
b.
.lak
znaleźć
a?
Szukana
prosta
jest
równoległa
do prostej
y
=
2x
+
I.
To
oznacza, /c obie
te
proste
mają
równe
współczynniki
kierunkowe.
Stąd
a
=
2.
Mamy
już
a,
więc
szukana
prosta
ma
postać
y
=
2r
+
b.
J
ak
zn a
leźć
b?
Wiemy,
że
prosta
y
=
2r
+
b
przechodzi
przez punkt
A(
I,
5).
To
oznacza,
że
wspólrzc;dnc tego punktu
spełniają
równanie
tej
prostej .
A
to
oznacza,
że
po
wstawieniu
w
miejsce
x
=
1
i w
miejsce
y
=
5
otrzymamy
równanie:
5
=
2
· I
t-
b.
Inaczej
2
+
b
=
5.
Stąd
wyznaczymy
b;
b
=
5
-
2
=
3.
Szukana
prosta ma
postać
y
=
2r
+
3.
Odpowiedź
Szukana
prosta to
y
=
3x
+
7.
Odpow
i
edź
y
=
3x
+
7
ZADAN
I
E3
równanie
prostej pl7cchod111cej
przez punkt
A(
I
,
-
5)
i nachylonej do
osi OX pod
kątem
a
=
120°.
Rozwiązanie:
Znajdż
y
=
ar+
b,
a
=
120°
W"""J,
i<
tg
a:
a.
iatem
wstaw~my"'
a
~
1lff
i
oblkzamy
t~ warto~. korzystaj ąc
ze wzorów
redukcyjnych.
a
-
tg 120°
=
tg
(90°
+
30°)
a=
ctg 30°
=
-./3
Ma1ąc
y=2t+3
ZADANlE2
Napisz wzór
funkcji liniowej,
której
wykres jest
prostopadły
do
wykresu
y
=
i przechodzi przez punkt
B(
2,
I).
-J3
A
(
I,
y
=
3x
+
2
I
-./3x
+
b
oraz
-
5
=
--./3
·
I
+
b
-5
+
-J3
=
b
y
=--./Jx -
5
+-./3
5)
obliczony
współczynnik
kierunkowy
a
wstawiamy go
do
równania prostej, a
następ-­
nie obliaamy
współaynnik
b.
Korzystamy z
fak·
tu,
le
funkcja przechodzi przez punkt
A(t.
-5).
10
11

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin