AMI 02. Indukcja matematyczna i dowodzenie.pdf

(273 KB) Pobierz
Indukcja Matematyczna
Udowodnić dla
n
∈
N
:
1. 1 + 2 +
· · ·
+
n
=
n(n
+ 1)
;
2
n(n
+ 1)(2n + 1)
;
6
n(n
+ 1)(n + 2)
;
3
n(n
+ 1)(n + 2)(n + 3)
;
4
2. 1
2
+ 2
2
+
· · ·
+
n
2
=
3. 1
·
2 + 2
·
3 +
· · ·
+
n(n
+ 1) =
4. 1
·
2
·
3 + 2
·
3
·
4 +
· · ·
+
n(n
+ 1)(n + 2) =
1
1
5. 1 1 2 + 2 1 3 +
· · ·
+
= 1
−
n
+ 1;
·
·
n(n
+ 1)
6.
7.
1
1
1
1
1
+
+
···
+
=
−
;
1
·
2
·
3 2
·
3
·
4
n(n
+ 1)(n + 2)
4 3(n + 1)(n + 2)
1
1
1
1
1
+
+·
· ·+
=
−
;
1
·
2
·
3
·
4 2
·
3
·
4
·
5
n(n
+ 1)(n + 2)(n + 3)
18 3(n + 1)(n + 2)(n + 3)
8. 1
3
+ 2
3
+
· · ·
+
n
3
= (1 + 2 +
· · ·
+
n)
2
;
9. 6|10
n
−
4;
10. 3|10
n
+ 4
n
−
2;
11. 133|11
n+1
= 12
2n−1
;
12. 3|7
n
−
1;
13. 9|10
n
−
1;
14. 3|4
n
+ 5;
15. 9|4
n
+ 15n + 17;
n(n
2
+ 5)
;
16. 3
2
17. 37|1000
n
−
1;
18. 13|1000
n
+ (−1)
n+1
;
19.
20.
1
3
1
2
1
n
+
n
+
n
jest liczbą naturalną;
6
2
3
1
5
1
3
7
n
+
n
+
n
jest liczbą naturalną;
5
3
15
21. 2
n
> n
2
;
22. 2
2
n(n−1)
> n!
dla
n >
2;
23. 3
n
< n!
dla
n
7;
1
1
24. 2
n
< n!
dla
n
25.
n!
3
n
dla
n
4;
7;
n
sin(2
n+1
α)
26. cos
α
·
cos(2α)
· · · · ·
cos(2
α)
=
n+1
;
2
sin
α
sin
2
(nα)
;
27. sin
α
+ sin(3α) +
· · ·
+ sin((2n
−
1)α) =
sin
α
28.
|a
1
+
a
2
+
· · ·
+
a
n
|
29. 1
−
30.
1
4
|a
1
|
+
|a
2
|
+
· · ·
+
|a
n
|;
1
n
2
1
−
1
9
· ··· ·
1
−
+
=
n
2n 1 dla
n >
2;
1
1
1
n
+
+
···
+
=
;
5
·
8 8
·
11
[5 + 3(n
−
1)]
·
[5 + 3n]
5(5 + 3n)
31. jeżeli
a
0
= 2,
a
1
= 3,
a
n+1
= 3a
n
−
2a
n−1
,
to
a
n
= 2
n
+ 1;
32. jeżeli
a
n
=
a
n−1
a
0
,
to
a
n
=
;
2a
n−1
+ 1
2na
0
+ 1
33. Udowodnić, że dla
n >
2,
n
∈
N,
a >
0 zachodzi
1
(1 +
a)
n
>
1 +
na
+
n(n
−
1)a
2
;
2
34. Niech
u
1
= 1,
u
2
= 1,
u
n+2
=
u
n+1
+
u
n
.
Pokazać, że
n
n+2
·
u
n
−
u
2
= (−1)
n+1
;
n+1
35. Wyznaczyć największą liczbę naturalną
k
taką, że dla
n
∈
N
nieparzystego
2
k
|n
6
−
n
4
−
n
2
+ 1;
36. Mamy mapę narysowaną prostymi. Udowodnij, że można tak pokolorować kraje
(na mapie) 2 kredkami, że sąsiadujące państwa róznia się kolorami;
37. Udowodnić, że
n
prostych na płaszczyźnie, z których każde dwie przecinają się, ale
żadne trzy nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli płaszczyznę na
1
(n
2
+
n
+ 2)
2
części;
2
h1YIT
-
INDUKCJA ZADANIA
Udowodniidlan€N:
1
1
|
q
|
, -_n{n-l-l).
2
-
_
1
.
I
n
L.
1
- 9
_
tL
J 2 1 r_ L 2 - LT . . . _t 1 - ^ 2
n(n-t1\(2rt-t1)
6
3 . I . 2 + 2 ' 3 + . . .+ n ( n * r ) : = & * @ ;
4 . 1 3 2 3 . . . * n s: ( 1+ 2 + . . . * r t ) 2 ;
+ +
-
5 . 6 11 0" 4 ;
6 . 3 11 0" 4 ^- 2 ;
*
7. 133111"+1
4122n-1"
-
8 . 31 7" 1 ;
-
9. 9110" 1;
10.3 14* 5;
"
11..914 * 75n* L7;
1)
,11n(n2+5)
.
2
t
B. ln3 + |n2 + ln
jest liczb4naturaln4;
1
<
1
2
7
14. lnb -f ir" + =ft" jest liczb4naturaln4i
15. 2 > n2;
76.3 <nt
L T .2 " < n l
dla n ) 7 ;
dia n ) 4 ;
2
18.cos0. co s a ' . . . 'c o s 2 n ' : ff i ;
19.si no* si n 3 o . . . * s i n( 2 n- l) a :
*
"# # '
2 0 .l a 1 * a z t . . . 1 a , l< l o r + l " r l * . . . * l a " l ; ;
l
27. jezeli ao :2,
:
a1. 3,
anil : 3an - 2an-1,
to
ctn: 2 + I;
22. jezeli an:1ffi1,
to
an: ffi+ri
nieparzystego 2rlr,u
k
nul*'*ksz4liczbqnaturalnQ takE,2e dla n € N;
23. Wyznacz;,i
n a - n 2+ L ;
prostysli. Udowodnii, ze mozna tak pokolorowai kraje
24. \4amy mapq narysowanQ
(na mapie)2 kredkami,ze s4siadujqce
paristu,a
r62m4siq kolorami;
-
2 5 1 . 2 . . . . 3 + 2 3 ' 4 + . . . 4 n ( n +1 ) ( n 2 ) : t u : - t b P @ ;
.
+
26.
n
27.
+*+...+A#t:l-#;
i* + fi+
"*n+
+ a*iIa.'a:1-
mrhrr;
+mnx#zm;g: rra-
3(n+1)(n+2)(n+3)
)
a) 0
zachodzi (1 +a)' > 1 + na,+
|n(n-
28.
r*n+
29. U d o w o d n i d , z e d l a n ) 2 , n € N ,
7)o';
30.
2|n(n-t)S ,t
t1
ut.
dla n, ) 2;
Udowodnii, 2e n prostych na pIaszczy|nLe, kt6r;,chka2cle
z
dwie przecinai4siq, ale
ladne trzy nie przechodz4przez .ieclen
punkt, cizieliplasz
czyznena
11i.,+ n +
2) czgsci;
dla n. € N;
dla n € N;
L,. . . tun*2 :
lLnL4 .r.Lr. pokaza|, ze
I
un*2 ' ' t L n- u ? + t :
-
32. 3711000" I
33. 1311000'*-t;"+t
(
34. Niech u7 :
r _ l- / n + ) .
)
1
\
I,1tr2:
(
3 5 . 1- * ) t t - * l . ( 1- # ) : #
dtan,)2,n€N;
3 6* + # + . . +
Jt.
a4
^ |
:6ft6;
rr )
-i-
t t ' .)
\
i"
tt)
til4
rr
Jl./
1p
t
M
a (a+tn1
\o>o )
2q
I
&5
A4
3
1
^
'
y+2-
|
n-)"YL
'+
c't
bt4
lnf ,l
-4
tL
n L
A
'L
/-
{v,
.?^
+ / l L + [-'rj
t ntu
7n&'uk-4"-.
lld,oatrddi
&La- moM:
-
..
D
e)
*
* 3L- \-+, r* C 4)i-t , r r t = ( - 4 )
4'- L"
4L
d* 'l ry,t(m + a)
...,
T
2)
T G u - t ) = 8 )
I
K=
I Zolaz,r^^
I
g
,>zn'g{+'
A
4
2-
4g
' ?- '
lt
- r y a ( z ^- , r ) j
f,k-3)
K" / t
q) f-
l<.'(
n
= 2-+(^ -t)' 2^u
) ,
k'2*
,^.,, -"eAi J, Oi'-7s-b'"?4'n'c'2
fn
|
L_
I ,, Otu'"-'*^^', P*fU
'
b)
.1-
fi1
F
2, *-^ = t- l;
k.kl =(**D!-L
L o _ = L , * r * )
F?,(
fva
6)
/
k=4
+1.
L
ta-,]
q)
f n,
I
L
V:O
-
ry)
ffit
4'x 4-x
-1'c: ?-o^=&,o-.-*Qa*tt4+"'i.Q^-'r
U7'*a.?71/wt
p.= n,t-
-
g) 2l m? 't\'
-^' + )
')
01
?> | ^"-
40) 7ol
4 t4) 6 l^v+5*)
't'D q zl,t- u )
;
") 4 91 6nn'oT'nun
o
4
u
p y lrV , 2
h
(u'{f-)
( o"-
t b ) ( U ' n V +D t
4?nl "- Tni+\q )
45)
;
bh*\'aon' 6 * )
l
4a ) 6 ' +
* + n e+ f ' u - 2 r ' )
-
9 . v lm 6 T u t * 6 n q
n")
n^
g"-
4)5l 42'b+ I - Glf ;
a,o)51 6,G 4 ) ;.
a"t")+l 8'+ (.'|n+t-4 eb) Yls*+S\qn*Ln.
u)
48) &,(*h'4 Y,"t"1 ?, ? l*t-
'
b | \ n * r , 2 * t 2 'G ' 1 ) 1* 4 ' /
4D

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin