kryterium nquista.pdf

(432 KB) Pobierz

106

Wykład

Podstawy Automatyki

dr inż. Krzysztof Przystupa

KRYTERIUM NYQUISTA

Kryterium Nyquista ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ pozwala badać stabilność

układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego,

którą można wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie.

Rozpatrzmy układ liniowy o schemacie blokowym przedstawionym na rysunku.

Rys. Schemat blokowy układu

Transmitancja układu otwartego wynosi





�½





�½





















przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów zmiennej

otrzymamy





�½

przy. czym





�½

jest równaniem charakterystycznym układu otwartego; zakładamy, że stopień tego równania równa

się

Transmitancja układu zamkniętego wynosi





�½









�½















Równanie charakterystyczne układu zamkniętego





�½











�½

jest również stopnia

ponieważ stopień





nie jest nigdy większy od stopnia

(s).

Zbadamy zmianę argumentu funkcji









�½















arg













�½ 

arg







 

arg

























Przypadek 1. Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma

wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s. Zgodnie z kryterium Michajłowa





arg







�½







Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli









arg







�½



Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać:

107

Wykład

Podstawy Automatyki

dr inż. Krzysztof Przystupa

Oznacza to, że wykres krzywej













nie może obejmować początku układu współrzędnych

(musi się zaczynać i kończyć na jednej prostej wychodzącej z początku układu). Ten sam warunek

odniesiony do charakterystyki częstotliwościowej (amplitudowo-fazowej) układu otwartego







będzie sformułowany jak następuje:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka

amplitudowo-fazowa







dla pulsacji



od 0 do

 

nie obejmuje punktu







to wtedy i

tylko wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny.

Przykładowe wykresy krzywych













oraz







układów stabilnego i

niestabilnego (po zamknięciu) zestawiono na rysunku.









arg













�½

Rys. Charakterystyki układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne

W przypadku złożonego kształtu krzywych







wygodnie jest posługiwać się

wynikającą bezpośrednio z podanego kryterium tzw. „regułą lewej strony", która mówi, że układ

zamknięty jest stabilny wtedy, kiedy punkt







znajduje się w obszarze leżącym po lewej

stronie charakterystyki







idąc w stronę rosnących



Zastosowanie tej reguły można

sprawdzić na przykładzie charakterystyk podanych na rysunku.

108

Wykład

Podstawy Automatyki

dr inż. Krzysztof Przystupa

Rys. Charakterystyki







układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne

109

Wykład

Podstawy Automatyki

dr inż. Krzysztof Przystupa

Przypadek układów astatycznych, których charakterystyki pokazano na rysunku ostatnim, wymaga

bliższego wyjaśnienia. Jeżeli układ otwarty zawiera np. jeden element całkujący, to charakterystyka







dla



�½

zaczyna się w punkcie o współrzędnej urojonej





i mogą powstać

wątpliwości, czy charakterystyka ta obejmuje punkt







, czy nie. Transmitancja operatorowa

układu otwartego ma wówczas postać





�½

Transmitancja widmowa







jest odwzorowaniem osi liczb urojonych płaszczyzny zmiennej

zespolonej

za pomocą funkcji





. W danym przypadku charakterystyka







ma dla

pulsacji



�½

punkt nieciągłości; amplituda przyjmuje wartość nieskończenie wielką, a faza

zmienia się skokowo o 180°.

Jeżeli zaliczymy biegun zerowy transmitancji

G(s)

do lewej półpłaszczyzny, to możemy

obejść go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu

zgodnie z rysunkiem a). Dla wartości

bliskich zera mamy wtedy

�½





przy czym

 





, a transmitancja





przyjmuje postać





�½





















Ponieważ iloraz wielomianów





dla



ma stałą wartość

zatem









�½





�½





przy czym

 

Jeżeli teraz wektor

�½



zmienia swój argument od 0 do

dodatnie wartości



), to

(s)

zmienia argument od 0 do -



po okręgu o promieniu

(rys. b).

Uzupełnienie charakterystyki







ćwierćokręgiem o nieskończenie wielkim promieniu pozwala

właściwie sprowadzić przypadek układu astatycznego pierwszego rzędu do układu statycznego,

którego charakterystyka zaczyna się na dodatnim odcinku osi







. W analogiczny sposób można

wykazać, że w przypadku układu astatycznego drugiego rzędu charakterystykę







zaczynającą się w punkcie o współrzędnej rzeczywistej

 

należy uzupełnić półokręgiem o



promieniu

�½ 

zmieniającym argument od 0 przez





(interesują nas

Odwzorowanie osi



z wyłączeniem bieguna zerowego dla układu astatycznego o transmitancji







�½













110

Wykład

Podstawy Automatyki

dr inż. Krzysztof Przystupa

Przypadek 2.

Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma







pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie zmiennej

oraz

pierwiastków w prawej

półpłaszczyźnie. Zgodnie ze



arg







�½









lub, ponieważ







jest krzywą symetryczną, względem osi liczb . rzeczywistych,





arg







�½



















Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli





 



arg







�½



Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać

Warunek ten, odniesiony do charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego







będzie sformułowany, jak następuje:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m pierwiastków swego równania

charakterystycznego

prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny

wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego dla pulsacji



0 do

 

okrąża m/2 razy punkt





1, j 0



kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu wskazówek

zegara.

Zastosowanie kryterium Nyąuista w podanym ostatnio sformułowaniu wymaga więc znajomości

liczby pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego z dodatnią częścią

rzeczywistą, co bardzo ogranicza jego znaczenie.

Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdyż układy automatyki spotykane w praktyce są zwykle

w stanie otwartym stabilne



�½











arg













�½

Plik z chomika:

szczurozo1902

Inne pliki z tego folderu:

char stat.pdf (3400 KB)
Charakterystyki częstotliwościowe typowe wymuszenia.pdf (597 KB)
człony dynamiczne.pdf (1211 KB)
kon 1.pdf (498 KB)
kryterium nquista.pdf (432 KB)

kryterium nquista.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: