IMIC_przykłady_bryla sztywna.pdf

(418 KB) Pobierz
Przykład:
liczenie momentu bezwładności pręta o masie
M
i długości
L.
Moment bezwładności elementu
o masie dm wynosi
x
2
dm
jeżeli pręt ma stałą gęstość:
d
m
=
m
c
d
x
L
I
=
∑
x
d
m
i
=
2
i
i
L
/2
∫
x
−
L
/ 2
2
d
m
m
I
=
c
L
L
/2
−
L
/ 2
m x
3
x
d
x
=
c
∫
L
3
2
L
/2
=
−
L
/ 2
m
c
L
2
12
Przykład:
Znajdź przyspieszenie liniowe klocka o masie
m,
przyspieszenie kątowe
bloczka oraz naprężenie nici. Dane są masa bloczka
M
i jego promień
R.
(Wszelkie
opory i tarcie pomijamy).
Moment bezwładności bloczka wynosi
1
MR
2
2
II zasada
dynamiki
Newtona
Ruch obrotowy
M
wyp
=
RN
=
I
ε
Ruch postępowy
F
wyp
=
mg
−
N
=
ma
związek miedzy ruchem
ε
=
a
postępowym i obrotowym
R
a
=
mg
I
m
+
2
R
=
mg
2
m
=
g
M
2
m
+
M
m
+
2
ε
=
g
2
m
R
2
m
+
M
N
=
g
mM
2
m
+
M
1
Analogie ruchu obrotowego do ruchu postępowego
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
r, v, a,
m
p
=
m
v
F
d
p
d
t
F
=
m
a
1
E
k
=
m
v
2
2
F
=
przypadek szczególny,
L||ω
oraz
M||ε
ω
ε
ϕ
,
ω, ε,
I
L
=
r
×
p
,
L
=
Ι
ω
M
=
r
×
F
d
L
M
=
d
t
M
=
I
ε
E
k
=
1
2
Iω
2
Przykład ruchu (2): Toczenie się (bez poślizgu) po równi pochyłej
– równania ruchu
Toczenie bez poślizgu:
ruch postępowy
a
=
ε
R
ruch obrotowy
mg
sin
θ
−
T
=
ma
M
=
RT
=
I
SM
.
ε
=
I
SM
np. dla walca:
a
R
a
=
mg
sin
θ
m
+
I
SM
/
R
2
a
=
2
g
sin
θ
3
ruch obrotowy
Z zasady zachowania energii
ruch postępowy
E
kp
=
1
2
m
v
SM
2
mgh
=
E
ko
=
1
1
2
m
v
SM
+
I
SM
ω
2
2
2
1
I
SM
ω
2
2
Toczenie bez poślizgu
v
=
ω
R
np. dla walca
v
SM
=
2
mgh
m
+
I
SM
/
R
2
v
SM
=
4
gh
3
2
KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA
MOMENTU PĘDU I DRUGIEJ ZASADY DYNAMIKI
DLA RUCHU OBROTOWEGO
M
=
d
L
=
0
⇒
L
=
const.
d
t
L
=
Ι
ω
=
const.
2. Stała wymuszona oś obrotu
L
≠
const.
d
L
≠
const.
d
t
M
=
Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)
Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą łożysk ustalimy w przestrzeni oś obrotu (narzucimy
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dążył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił
oddziaływania między osią a łożyskami. Momenty sił reakcji łożysk spowodują precesję wektora
L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba łożysk ponieważ momenty sił są zerowe.
W układzie obracającym się siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi
obrotu
(maksymalny moment bezwładności).
Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu
momentowi sił odśrodkowych a tym samym zerowym siłom reakcji łożysk.
3
3. Precesja pod wpływem działającego momentu siły
Precesja bąka pod wpływem siły ciężkości
M
=
∆L
∆t
M
=
r
×
m
g
M
=
mgr
sin
θ
ω
p
=
∆
ϕ
∆
L
1
M
≅
=
∆
t L
sin
θ
∆
t L
sin
θ
M
=
ω
p
L
sin
θ
ω
p
=
mgr mgr
=
L
I
ω
kolejka
Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstawą różnych technik
doświadczalnych jak np. magnetyczny rezonans jądrowy (NMR)
Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej
Ziemia nie jest bąkiem swobodnym.
Niejednorodności pola grawitacyjnego w
którym się porusza (niezerowy moment sił
grawitacji) powodują precesję astronomiczną
wektora momentu pędu (w przybliżeniu
równoległą do osi obrotu Ziemi
*
). Okres
precesji wynosi ok. 26 000 lat.
Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia się w
czasie (wpływ Księżyca) co powoduje nutację.
w punkcie 1. opisano niewielką precesję osi obrotu Ziemi wokół kierunku wektora
momentu pędu (Ziemia
nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół osi głównej)
*
uwaga
4
3. Precesja pod wpływem działającego momentu siły
Precesja bąka pod wpływem siły ciężkości
M
=
∆L
∆t
M
=
r
×
m
g
M
=
mgr
sin
θ
ω
p
=
∆
ϕ
∆
L
1
M
≅
=
∆
t L
sin
θ
∆
t L
sin
θ
M
=
ω
p
L
sin
θ
ω
p
=
mgr mgr
=
L
I
ω
kolejka
Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstawą różnych technik
doświadczalnych jak np. magnetyczny rezonans jądrowy (NMR)
Rower
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin