rozdz_02_elementy przynalezne.pdf

(63 KB) Pobierz
2 ELEMENTY PRZYNALEśNE
2.1 PRZYNALEśNOŚĆ PUNKTU I PROSTEJ
JeŜeli punkt i prosta przynaleŜą do siebie w przestrzeni, to ich jednoimienne
(odpowiednie) rzuty takŜe przynaleŜą do siebie.
P
RZYKŁAD
2.1. Dany jest odcinek
AB
rzutami
A'B'
i
A''B''
(rys.2.1). Znaleźć jego
środek.
A''
M''
B''
x
B'
M'
A'
1
2
Rys. 2.1
Wykorzystując konstrukcję podziału odcinka w zadanych proporcjach, dokonuje się
podziału jednego z rzutów np.
A'B'
na dwie równe części. Otrzymuje się w ten sposób rzut
poziomy
M'
punktu
M.
PoniewaŜ punkt
M
tworzy z odcinkiem
AB
parę elementów
przynaleŜnych, stąd pionowy rzut
M''
punktu
M
znajduje się na rzucie pionowym odcinka
A''B''.
Punkt
M(M', M'')
jest rozwiązaniem zadania.
2.2 PRZYNALEśNOŚĆ PROSTEJ I PŁASZCZYZNY
W przypadku dowolnej płaszczyzny
α
określonej
śladami
α(h
α
,
v
α
)
prosta leŜąca na
płaszczyźnie posiada
ślady
znajdujące się na odpowiednich (jednoimiennych)
śladach
tej
płaszczyzny.
P
RZYKŁAD
2.2. Wyznaczyć rzuty dowolnej prostej leŜącej na płaszczyźnie
α
określonej
śladami
(rys.2.2).
V
r
r"
"
H
r
r'
h
α
H
r
V
r
'
X
α
v
α
x
Rys. 2.2
Płaszczyzna
α(h
α
,
v
α
)
jest w połoŜeniu dowolnym, gdyŜ
Ŝaden
ze
śladów
nie jest
prostopadły do osi rzutów. Aby wyznaczyć prostą
r
przynaleŜną do
α
naleŜy jeden rzut prostej
r
przyjąć dowolnie, a drugi odpowiednio wyznaczyć. Zgodnie z tym, niech rzut poziomy
r'
prostej
r
znajduje się w połoŜeniu jak na rys.2.2. Punkt
H
r
=r'×h
α
jest
śladem
poziomym
prostej
r.
Po zrzutowaniu
H
r
na oś
x
otrzymuje się rzut pionowy
śladu
poziomego
H
r
''.
Punkt
przecięcia rzutu
r'
z osią
x
wyznacza rzut poziomy
śladu
pionowego
V
r
',
zaś jego prosta
odnosząca przecina się ze
śladem
v
α
płaszczyzny w punkcie
V
r
zwanym
śladem
pionowym
prostej
r.
Rzut pionowy prostej
r
określony jest przez punkty
V
r
oraz
H
r
''.
Szczegółowe
rozwiązanie zadania przedstawiono w
załączniku 2.1.
W przypadku dowolnej płaszczyzny
α
określonej przy pomocy prostych lub punktów
dowolna prosta leŜąca na tej płaszczyźnie posiada punkty przynaleŜne (przecięcia) z tą
płaszczyzną.
P
RZYKŁAD
2.3.
Dana
jest
płaszczyzna
określona
prostymi
s(s', s'')
i
r(r', r'')
przecinającymi się w punkcie
P(P', P'')
oraz rzut poziomy prostej
t
naleŜącej do tej
płaszczyzny (rys.2.3). Wykreślić rzut pionowy prostej
t.
s"
P"
2"
r"
t"
x
r'
s'
t'
P'
1'
2'
1"
Rys. 2.3
Prosta leŜy na płaszczyźnie, jeśli jej dwa róŜne punkty naleŜą do tej płaszczyzny lub jeśli
przechodzi przez punkt leŜący na płaszczyźnie i jest równoległa do prostej przynaleŜnej do
płaszczyzny. Do konstrukcji brakującego rzutu prostej
t
moŜna wykorzystać pierwszy
warunek przynaleŜności prostej i płaszczyzny.
Prosta
t
ma dwa punkty wspólne z prostymi tworzącymi płaszczyznę, z prostą
r'
punkt
1'
oraz z prostą
s'
punkt
2'.
PoniewaŜ prosta
t
naleŜy do tej płaszczyzny, to rzuty pionowe
1''
i
2''
punktów
1
i
2
moŜna odnieść na rzutach pionowych odpowiednich prostych
r''
i
s''.
Następnie
przez wykreślone rzuty moŜna poprowadzić szukany rzut
t''
prostej
t.
Szczegółowe
rozwiązanie zadania przedstawiono w
załączniku 2.2.
Ze względu na pewne własności moŜna wyróŜnić charakterystyczne proste płaszczyzny:
proste poziome
– są to proste równoległe do rzutni poziomej; wynika
z tego,
Ŝe
prosta
p
(rys.2.5) jest równoległa do
śladu
poziomego
h
α
płaszczyzny, a więc jej
rzut poziomy
p'
jest równieŜ równoległy do
śladu
poziomego tej płaszczyzny.
proste czołowe
– są to proste równoległe do rzutni pionowej; wynika
z tego,
Ŝe
prosta
c
(rys.2.6) jest równoległa do
śladu
pionowego
v
α
płaszczyzny, a więc jej rzut
pionowy
c''
jest równieŜ równoległy do
śladu
pionowego tej płaszczyzny.
π
2
V
p
V'
p
X
α
h
α
π
1
v
α
p'
p
x
p'
α
V
p
V'
p
X
α
v
α
p"
x
p'
h
α
Rys. 2.5
π
2
v
α
c"
H
c
X
α
H
c
π
1
h
α
c'
c
x
H"
c
X
α
H
c
h
α
c'
x
α
v
α
c"
Rys. 2.6
2.3 PRZYNALEśNOŚĆ PUNKTU I PŁASZCZYZNY
Konstrukcja punktu
A,
który leŜy na danej płaszczyźnie
α
wymaga wprowadzenia
pomocniczej prostej naleŜącej do płaszczyzny
α
i zawierającej punkt
A.
P
RZYKŁAD
2.4. Wyznaczyć punkt naleŜący do dowolnej płaszczyzny
β(v
β
h
β
)
(rys.2.8).
c"
p"
v
β
A"
V
p
H"
c
X
β
x
V'
p
h
β
c'
A'
p'
Rys. 2.8
H
c
Zgodnie z rys.2.8 płaszczyzna
β
jest wyznaczona przez swe
ślady
h
β
i
v
β
przecinające się na osi rzutów
x.
NaleŜy przyjąć w sposób dowolny rzut pionowy
A''
punktu
A
leŜącego w płaszczyźnie
β.
Przez
A''
prowadzi się równolegle do osi
x
rzut pionowy
p''
prostej poziomej płaszczyzny
β.
Ślad
prostej poziomej
V
p
leŜy na przecięciu
śladu
pionowego
v
β
płaszczyzny
β
z rzutem pionowym
p''.
Odnosząc punkt
V
p
na oś
x
otrzymuje się
rzut poziomy
V
p
',
przez który prowadzi się równolegle do
śladu
poziomego
h
β
płaszczyzny
β
rzut poziomy
p'
prostej
p.
Odnosząc
A''
na prostą
p'
uzyskuje się rzut poziomy
A'
punktu
A.
Zadanie moŜna równieŜ rozwiązać wprowadzając prostą czołową
c
(rys.2.8). Konstrukcja
w tym przypadku jest analogiczna jak dla prostej poziomej
p.
RóŜnica polega na tym,
Ŝe
najpierw obiera się rzut poziomy
A'
punktu
A,
przez który następnie prowadzi się równolegle
do osi
x
rzut poziomy
c'
prostej
c.
Na przecięciu
c'
i
h
β
znajduje się
ślad
poziomy
H
c
prostej
c.
Po zrzutowaniu punktu
H
c
na oś
x
otrzymuje się jego rzut pionowy
H
c
''.
Prosta
c''
poprowadzona z punktu
H
c
''
równolegle do
v
β
jest rzutem pionowym prostej czołowej
c.
Rzut
pionowy
A''
punktu
A
znajduje się na przecięciu proste
c''
z odnoszącą poprowadzoną z
punktu
A'.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w
załączniku 2.3.
P
RZYKŁAD
2.5. Znaleźć rzut poziomy trójkąta
ABC
leŜącego na płaszczyźnie określonej
prostą
k(k', k'')
i punktem
M(M', M'')
(rys.2.9).
k"
4"
2"
A"
M"
1"
3"
B"
B'
3'
1'
A'
2'
k'
Rys. 2.9
n"
C"
x
M'
4'
C'
n'
Przez punkt
M
prowadzi się prostą
n(n', n''),
której odpowiednie rzuty są równoległe do
rzutów prostej
k(k', k'').
Rzuty
k''
oraz
n''
przecinają dany rzut pionowy trójkąta
A''B''C''
w
punktach
1'', 2'', 3''
i
4''.
Po zrzutowaniu tych punktów na rzuty poziome prostych
k'
i
n'
otrzymuje się punkty
1', 2', 3', 4'.
Następnie przez punkty
1'
i
3'
prowadzi się prostą
zawierającą krawędź
A'B'.
Przez rzuty poziome np.
A'
oraz
4'
prowadzi się drugą prostą, która
zawiera krawędź
A'C'.
Następnie po zrzutowaniu punktów
A'', B''
i
C''
otrzymuje się na
odpowiednich prostych rzuty poziome
A', B'
oraz
C'
wierzchołków trójkąta, które po
połączeniu wyznaczają szukany rzut poziomy trójkąta
ABC.
Szczegółowe rozwiązanie
zadania przedstawiono w
załączniku 2.4.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin