Układy równań.pdf

(62 KB) Pobierz
Uklady Cramera
Uklad r´wna´
o
n
nazywamy ukladem Cramera je˙ eli ma tyle samo r´wna´ co niewiadomych,
z
o
n
oraz wyznacznik z macierzy
A
wsp´lczynnik´w przy niewiadomych jest r´zny od zera.
o
o
o˙
Twierdzenie Cramera
Uklad Cramera posiada dokladnie jedno rozwiazanie dane wzorami:
‘
A
·
X
=
B
x
j
=
|A
j
|
|A|
, dla
j
= 1, 2,
. . . , n
,
x
j
przez kolumne‘
gdzie macierz
o
o
j
powstaje przez zasta‘pienie kolumny wsp´lczynnik´w przy niewiadomej
wyraz´w wolnych.
o
Rozpatrzmy przykladowy uklad r´wna´:
o
n
A
3x
−
y
−
2z = 30
= 11
x
−
y
+
z
x
+
y
−
2z
= 90
3
−1 −2
3
−1
|A|
= 1
−1
1 1
−1
=
−4
1 1
−2
1 1
powiedzmy, ze chcemy wyznaczy´ niewiadoma
˙
c
‘
y
:
3 30
−2
3 30
|A
y
|
= 1 11 1 1 11 =
−404
1 90
−2
1 90
Przyklad 3r3n, poprzedni uklad:
y
=
−404
−4
= 101
Operacje elementarne na wierszach
3
−1 −2
30
−3II
2
−5 −3
0
1
−1
1 11
U
= 1
−1
1 11
=
1 1
−2
90
−II
0 2
−3
79
−I
0 2
−5 −3
I
↔
II
1 11
−III
1
−1
= 1
−1
1 11
=
0 2
−5 −3
+5III
0 0 2 82
/2
0 0 1 41
1
−1
0
−30
1
−1
0
−30
+II
/2
0
1 0 101
= 0 2 0 202
=
0 0 1 41
0 0 1 41
1 0 0 71
= 0 1 0 101
0 0 1 41
x
= 71
,
y
= 71
,
z
= 41
.
Zbada´ dla jakich
p
∈
c
uklad
x
+
py
−
z
= 1
2x +
y
+
pz
=
−3
3x + 3y +
z
=
−5
0.
ma jednoznaczne rozwiazanie spelniajace warunek
x
‘
‘
1
p
−1
1
p
|A|
= 2 1
p
2 1 = 3p
2
−
5p
−
2
3 3 1 3 3
p
1
=
−1/3
,
p
2
= 2
Rozwiazanie jednoznaczne dla
p
∈
‘
\ {−1/3,
2}
1
p
−1
1
p
|A
1
|
=
−3
1
p
−3
1 = 5
−
5p
2
−5
3 1
−5
3
x
=
x
|A
1
|
|A|
=
5(1−p)(p+1)
3(p+1/3)(p−2)
0
gdy
5(1
−
p)(p
+ 1)3(p + 1/3)(p
−
2)
p
∈
(−∞,
−1] ∪
(−1/3, 1]
∪
(2,
∞)
0
i
p
∈
D
\ {−1/3,
2}
p
∈
(−∞,
−1] ∪
[−1/3, 1]
∪
[2,
∞)
oraz
p
∈
˙
ODPOWIEDZ:
Przyklad 4r3n
x
+ 2y
−
z
2x +
y
+ 2z
3x
−
3y + 5z
4x + 5y
=
=
=
=
2
5
5
9
1 2
−1
2
2 1 2 5
−2I
U
=
3
−3
5 5
−3I
4 5 0 9
−4I
1 2
−1
2
0
−3
4 1
0
−9
8
−1
−3II
−II
0
−3
4 1
1 2 0 1
0
−3
0
−3
−/3
0 0
−4 −4
−/4
0 0 0 0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
−1
0 1
1 1
0 0
1 2
−1
2
−.25III
+III
0
−3
4 1
0 0
−4 −4
0 0 0 0
2
1
0
0
0
0
1
0
1
−2II
1
1
0
1
0
0
0
x
=
−1
,
y
= 1
,
z
= 1
.
Przyklad 3r5n
x
+ 2y
−
3z + 5t
−
u
=
−4
3x
−
4y + 5z +
−5t
+ 5u = 1
2x
−
y
+
z
+ 2u
= 4
1 2
−3
5
−1 −4
U
= 3
−4
5
−5
5 1
−3I
2
−1
1 0 2 4
−2I
1
2
−3
5
−1 −4
2
−3
5
−1 −4
1
0
−10
14
−20
8 13
−2III
=
0 0 0
0 0
−11
0
−5
7
−10
4 12
0
−5
7
−10
4 12
´´
SPRZECZNOSC
Zbada´ ilo´´ rozwiaza´ ukladu :
c sc
n
‘
w zale˙ no´ci od warto´ci
p
∈
z s
s
3x
−
y
+
pz
= 6
x
+
py
+
z
= 7
x
+ 2y
−
3z =
−5
3
−1
p
3
−1
|A|
= 1
p
1 1
p
=
−p
2
−
7p
−
10
1 2
−3
1 2
p
1
=
−5
,
p
2
=
−2
p
=
−5
3
−1 −5
6
−3II
1
−5
1 7
1 2
−3 −5
−II
´´
SPRZECZNOSC
0 14
−8 −15
−2III
7
1
−5
1
0 7
−4 −12
0 0 0
9
1
−5
1
7
0 7
−4 −12
3
−1 −2
6
−3II
1 7
p
=
−2
1
−2
1 2
−3 −5 −II
0 5
−5 −15
/5
1
−2
1
7
0 4
−4 −12 −4I
0 1
−1 −3
0 1
−1 −3
+2I
1 0
−1
1
−2
1 7
1
=
0 0 0 0
0 0 0 0
Uklad po przej´ciach
x
=
z
+ 1
,
y
=
z
−
3
s
Odp: dla
p
∈
\ {−5, −2}
dokladnie 1 rozwia‘zanie
dla
p
=
−2 ∞
wiele rozwiaza´ zale˙ nych od 1 parametru
n
z
‘
dla
p
=
−5
uklad sprzeczny.
Macierz odwrotna bezwyznacznikowo
:
1
−3 −1
A
= 2
−1
1
1 1 3
|A|
= 8 = 0
macierz odwrotna istnieje
1
−3 −1
1 0 0
(A|I) = 2
−1
1 0 1 0
−2I
1 1 3 0 0 1
−I
1 0 0
+3II
1
−3 −1
1 0 0
1
−3 −1
−III
0
1
−1 −1
1 1
0 5 3
−2
1 0
0 4 4
−1
0 1
−4II
0 4 4
−1
0 1
1 0
−4 −2
3
−3
+0.5III
0 1
−1 −1
1 1
+0.125III
0 0 8 3
−4
5
1 0 0
−1/2
1
−1/2
0 1 0
−5/8
1/2
−3/8
0 0 8
3
−4
5 0.125
1 0 0
−1/2
1
−1/2
0 1 0
−5/8
1/2
−3/8
0 0 1 3/8
−1/2
5/8

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin