wykład 4_Estymacja.pdf

(239 KB) Pobierz
2013-12-03
Wykład IV. Estymacja parametrów
Załóżmy, że rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej jest
opisany dystrybuantą F(x;α), gdzie α jest nieznanym parametrem
F(x;α
tego rozkładu; jego wartość będzie szacowana na podstawie
n
elementowej próby
( X , X ,...X )
1
2
n
Estymatorem A
(n)
parametru α
rozkładu zmiennej losowej X jest
statystyka
A
( n )
=
a (X
1
, X
2
,..., X
n
)
, której rozkład zależy od tego
parametru.
Oceną a
(n)
parametru α
jest wartość liczbowa
a
( n )
=
a ( x
1
, x
2
,..., x
n
)
,
jaką przyjmuje estymator A
(n)
dla konkretnej realizacji próby
( x
1
, x
2
,..., x
n
)
.
1
Estymator jest
zgodny,
jeśli jest stochastycznie zbieżny
do szacowanego parametru; tzn. spełnia warunek
ε >
0 n
→∞
∀
lim P(| A
( n )
− α
|
< ε
)
=
1
Estymator jest
nieobciążony,
jeśli jego wartość
oczekiwana jest równa szacowanemu parametrowi , tzn.
E(A
(n)
) =
α
Estymator jest
najefektywniejszy
w danej klasie
estymatorów, jeśli ma najmniejszą wariancję spośród
estymatorów danej klasy.
1
2013-12-03
Różnica A
(n)
-α jest zmienną losową zwaną
błędem szacunku
parametru α,
jego miarą jest
∆ =
E(A
( n )
− α
)
2
Jeśli estymator A
(n)
jest nieobciążony, to błąd szacunku jest
wariancją tego estymatora; wtedy odchylenie standardowe
D(A
(n)
) zwane jest
średnim (standardowym) błędem
szacunku
parametru α, a
względnym średnim błędem
szacunku
jest
D( A
( n )
)
α
Estymacja:
•
Punktowa (ocena, błędy szacunku)
•
Przedziałowa (przedział ufności)
Estymacja przedziałowa
DEF:
Niech cecha X ma w populacji rozkład z nieznanym
parametrem
Q.
Załóżmy, że na podstawie próby losowej
pochodzącej z tej populacji wyznaczono funkcje:
T (X
1
, X
2
,..., X
n
)
i
T(X
1
, X
2
,..., X
n
)
takie, że:
1. dla każdego
( x
1
, x
2
,..., x
n
)
zachodzi
T
<
T
oraz
2. dla z góry ustalonego prawdopodobieństwa 1 -
α
P
(
T
(
X
1
,
X
2
,...,
X
n
)
<
Q
<
T
(
X
1
,
X
2
,...,
X
n
))
=
1
−
α
mamy
Losowy przedział
( T ; T )
nazywa się
przedziałem ufności
parametru Q,
a ustalone z góry prawdopodobieństwo, z jakim ten
przedział pokrywa nieznaną wartość parametru
Q,(1
-
α
)
(1
-
współczynnikiem (poziomem) ufności
.
2
2013-12-03
Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej
ze znanym odchyleniem standardowym
Niech cecha X ma w populacji rozkład
N(m,
σ
)
;
m
– nieznane,
σ
- znane.
Niech (1 -
α)
–
współczynnik ufności, 0 <
α
< 1
( X
1
, X
2
,..., X
n
)
- próba losowa.
Estymatorem parametru m uzyskanym MNW jest
1
n
średnia arytmetyczna
X
=
∑
X
i
, która ma rozkład
N(m,
σ
)
n
i
=
1
n
Standaryzując zmienną
X
otrzymuje się zmienną
X
−
m
U
=
n
o rozkładzie N(0,1).
σ
Niech
u
α
będzie taką wartością, że
P(
−
u
α
<
U
<
u
α
)
=
1
− α
Po podstawieniu za U mamy
Stąd
σ
σ
<
m
<
X
+
u
α
)
=
1
− α
n
n
Na postawie definicji losowy przedział
P(X
−
u
α
(X
−
u
α
X
−
m
P(
−
u
α
<
n
<
u
α
)
=
1
− α
σ
jest przedziałem ufności dla średniej
m,
przy
współczynniku ufności 1 -
α.
σ
σ
; X
+
u
α
)
n
n
3
2013-12-03
Dysponując konkretną próbą
( x
1
, x
2
,..., x
n
)
otrzyma się
,
konkretny przedział liczbowy:
(x
−
u
α
σ
σ
; x
+
u
α
)
n
n
Uwaga: Przedział
ufności określony powyższym wzorem
σ
ma stałą długość równą
2
⋅
u
α
, a losowe są tylko jego
n
granice.
Maksymalny błąd szacunku jest równy połowie długości
przedziału ufności:
σ
d
x
=
u
α
⋅
n
(im mniejszy błąd szacunku (węższy przedział), tym
większa dokładność oszacowania)
Przykład 14.
Waga jabłek przeznaczonych na export ma rozkład
normalny z odchyleniem standardowym
równym 30 g.
Zbadano 50 jabłek otrzymując
średnią
wagę
równą 250 g.
Wyznacz długość przedziału ufności pokrywającego
nieznaną
średnią
oraz
wyznacz dokładność oszacowania,
przy współczynniku ufności
1 –
α
= 0,95.
4
2013-12-03
Przykład 14 - rozwiązanie
N(m, 30)
(m
– nieznane,
σ
- znane)
σ
= 30 g -
odchylenie standardowe w populacji
n = 50 -
liczebność próby
X
= 250 g –
średnia
wyliczona z próby
1
–
α
= 0,95 –
poziom ufności (czyli
α
= 0,05)
30
30
Przedział ufności:
(250
−
u
α
; 250
+
u
α
)
50
50
30
Długość przedziału ufności:
2
u
α
50
u
α
odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla
α
:
u
Φ
(
u
α
)
=
1
−
2
=
1
−
0,025
=
0,975
0 , 975
=
?
Przykład 14 - rozwiązanie
u
0,975
= 1,96
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin