KolokwiaA2.pdf

(37 KB) Pobierz
ANALIZA MATEMATYCZNA A2
Wyklad: Z. Rzeszotnik
Zadanie
1. (5 pkt)
Oblicz pochodna funkcji
e
sin(1−x)
f
(x) =
3
x
+ 2πx
Zadanie
2. (5 pkt)
Dla ustalonego
a
∈
(0, 1) oblicz granice
sin
x
lim
a
x→0
x
Zadanie
3. (5 pkt)
O funkcji
f
wiadomo, ze jest r´zniczkowalna (w spos´b ci¸gly) na prostej rzeczy-
˙
o˙
o
a
wistej oraz, ze
f
(1)
≤
f
(0)
≤
f
(2). Czy z tego wynika ju˙ , ze pochodna funkcji
f
˙
z ˙
musi si¸ zerowa´ w jakim´ punkcie? Odpowied´ uzasadnij.
e
c
s
z
Zadanie
4. (5 pkt)
Niech
f
b¸dzie tak¸ funkcj¸, ze
f
(x)
≥
L >
0 dla wszystkich
x
rzeczywistych.
e
a
a ˙
Udowodnij, ze w´wczas dla
x
≥
0
˙
o
f
(x)
≥
Lx
+
f
(0)
i wywnioskuj st¸d, i˙
a z
x→∞
lim
f
(x) =
∞.
Zadanie
5. (5 pkt)
Znajd´ maksimum i minimum funkcji
z
f
(x) =
|e
ix
+ 1|
dla
x
∈
[0, 2π].
Zadanie
6. (5 pkt)
Oblicz warto´´
π
w warunkach bojowych.
Wyobra´ sobie, ze stoisz na
sc
z
˙
biegunie p´lnocnym kuli o promieniu 1. Twoim zadaniem jest narysowanie wok´l
o
o
siebie okr¸gu o promieniu
R,
a nast¸pnie zmierzenie jego obwodu
O.
Robisz to po to,
e
e
O
aby wyznaczy´ warto´´
pi,
kt´r¸ standardowo definiujesz jako
2R
. Problem polega
c
sc
oa
na tym, ze jeste´ bardzo mal¸ istot¸ i my´lisz, ze powierzchnia na kt´rej stoisz jest
˙
s
a
a
s
˙
o
plaska (w sumie, jest to popularne zludzenie na Ziemi). Tak wi¸c sw´j okr¸g wok´l
e
o
a
o
bieguna p´lnocnego rysujesz przy pomocy cyrkla sznurkowego u˙ ywaj¸c sznurka o
o
z
a
dlugo´ci
R <
2. Jaka jest warto´´
pi
?
s
sc
Odpowied´.
Warto´´
pi
w warunkach bojowych wynosi
. . .
z
sc
2
Zadanie
7. (5 pkt)
Znajd´ punkty przegi¸cia funkcji
z
e
f
(x) =
|2e
ix
+
e
2ix
|
2
dla
x
∈
R.
Zadanie
8. (5 pkt)
Oblicz warto´´
n-tej
pochodnej w punkcie zero, czyli
f
(n)
(0), dla funkcji
sc
f
(x) =
xe
x
.
Zadanie
9. (5 pkt)
x
e
z
e
Rozwi´ funkcj¸
f
(x)
∑
e x
w szereg pot¸gowy, tzn. znajd´ szereg pot¸gowy
n
e
=
−1
∑
∞
a
n
x
n
taki, ze
f
(x) =
n=0
a
n
x
n
.
˙
Zadanie
10. (5 pkt)
Oblicz calk¸
e
∫
e
x
(sin
x
−
cos
x)dx
Zadanie
11. (5 pkt)
A. (2 pkt)
Oblicz calk¸
e
∫
1
dx
(x
2
+ 1) arctan
x
∫
B. (2 pkt)
Oblicz calk¸
e
1
dx
x
2
+
x
−
12
Zadanie
12. (5 pkt)
A. (3 pkt).
Oblicz calk¸
e
∫
ln(x
2
+ 1)dx
B. (3 pkt).
Oblicz calk¸
e
∫
x
5
sin(x
3
)dx
3
Zadanie
13. (5 pkt)
Oblicz calk¸
e
∫
e
2x
−
1
dx
e
3x
−
1
Zadanie
14. (5 pkt)
Oblicz calk¸
e
∫
x
n
dx,
x
120
−
1
gdzie
n
jest dowolnie wybran¸ przez Ciebie liczb¸ naturaln¸, spelniaj¸c¸ nier´wno´´
a
a
a
a a
o
sc
60
≤
n
≤
100.
Zadanie
15. (5 pkt)
Oblicz calk¸ oznaczon¸
e
a
∫
0
1
sin(2πx)
dx
e
x
Zadanie
16. (5 pkt)
Korzystaj¸c z twierdzenia, ze funkcja ci¸gla osi¸ga swoje maksimum na prze-
a
˙
a
a
dziale domkni¸tym, udowodnij, ze dla funkcji
f
ci¸glej na prostej rzeczywistej mamy
e
˙
a
h→0
lim
M
(h) =
f
(a),
gdzie
M
(h) oznacza maksimum funkcji
f
na przedziale domkni¸tym [a,
a
+
h].
e
Zadanie
17. (5 pkt)
Udowodnij, ze
˙
13
<
12
∫
1
4
1
11
dx <
x
6
Zadanie
18. (5 pkt)
Oblicz granic¸
e
)
(
n
n
n
n
lim
+
2
+
2
+
···
+
n→∞
4n
2
+ (n + 1)
2
4n + (n + 2)
2
4n + (n + 3)
2
40n
2
Zadanie
19. (5 pkt)
Oblicz calk¸ nieoznaczon¸
e
a
∫
1
dx
x
3
−
6x
2
+ 11x
−
6
4
Zadanie
20. (5 pkt)
Znajd´ funkcj¸
F
, tak¸ ze
F
(
1
) = 1,
F
(e) = 2 oraz
F
(x) =
z
e
a ˙
e
1
x
ln
x
dla
x >
0
Zadanie
21. (5 pkt)
Od pomara´czy w ksztalcie kuli o promieniu
R
odkrojono r´wnolegle oba ko´ce
n
o
n
tak, aby ukazal si¸ mi¸zsz b¸d¸cy koncentrycznie ulo˙ on¸ kul¸ o promieniu
r.
Po-
e a˙
e a
z a
a
zostal¸ cz¸´´ pomara´ czy pokrojono r´wnolegle na plastry o grubo´ci
d.
Oblicz
a esc
n
o
s
obj¸to´´ sk´rki pomara´czowej w ka˙ dym plastrze, przyjmuj¸c ze sk´rka to ta cz¸´´
e sc o
n
z
a ˙
o
esc
pomara´czy, kt´ra powstaje przez usuni¸cie z kuli o promieniu
R
jej mi¸zszu, czyli
n
o
e
a˙
kuli wewn¸trznej o promieniu
r.
e
Zadanie
22. (5 pkt)
Spr´buj, najlepiej jak potrafisz, postara´ si¸ obliczy´ calk¸
o
c e
c
e
∫ √
1 +
x
2
dx
Zadanie
23. (5 pkt)
Zbadaj zbie˙ no´´ calki niewla´ciwej
z sc
s
∫
∞
x
3
+
x
√
dx
9
+
x
3
x
0
Zadanie
24. (5 pkt)
Zbadaj zbie˙ no´´ calki niewla´ciwej
z sc
s
∫
∞
x
sin
2
x
√
x
dx
e
−
1
0

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin