Szeregi funkcyjne.pdf

(123 KB) Pobierz
ANALIZA MATEMATYCZNA A2.
CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POTĘGOWE.
Zadanie 1.
Wyznaczyć granice punktowe
f
(x) = lim
f
n
(x)
oraz zbadać zbieżność jednostajną
f
n
f
dla podanych ciągów
n→∞
funkcyjnych:
x
x
n
1
2 2
a.
f
n
(x) =
b.
f
n
(x) = (ln
x)
n
c.
f
n
(x) = 1 +
d.
f
n
(x) = 2n
2
xe
−n
x
e.
f
n
(x) = ln(x + )
n
n
n
Zadanie 2.
Wyznaczyć zbiór
A
tych liczb rzeczywistych
x
∈
R,
dla których zbieżny jest dany szereg. Następnie zbadać w którym
przypadku zbieżność szeregu jest jednostajna na zbiorze
A.
∞
∞
∞
∞
∞
∞
cos(nx)
1
x
x
n n
−nx
√
d.
2
x
e.
a.
b.
ne
c.
f.
sin
2
2
n
n
2
+
x
2
n
n
3
+
x
2
n=0
n=1
n=0
n=0
n=1
n=1
∞
∞
∞
∞
∞
∞
x
1
sin
nx
(−1)
n
n
n
n
g.
(ln
x)
h.
i.
sin
n
j.
k.
l.
x
x
n
2
n!
x
2
+
n
2
2
n=1
n=0
n=0
n=0
n=1
n=0
Zadanie 3.
x
Wyznaczyć pochodną
f
(x)
oraz całkę
f
(t)
dt
dla następujących funkcji określonych szeregiem potęgowym:
∞
a.
f
(x) =
n=1
x
n
n
0
∞
b.
f
(x) =
n=1
(−1)
n n
x
n
+1
∞
c.
f
(x) =
n=2
x
n+1
n
2
−
1
∞
d.
f
(x) =
(n + 1)x
n
n=1
Zadanie 4.
Wyznaczyć funkcję (podać jawny wzór oraz dziedzinę), którą definiuje dany szereg potęgowy:
∞
∞
∞
x
n
2n
n
a.
f
(x) =
x
b.
f
(x) =
n(n
+ 1)x
c.
f
(x) =
d.
f
(x) =
n
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∞
∞
(−1)
n
nx
n
n=1
∞
f.
f
(x) =
n=1
nx
2n
g.
f
(x) =
(n + 2)x
n
n=1
h.
f
(x) =
n=0
x
n
n(n
+ 1)
e.
f
(x) =
n=1
n
2
x
n−1
Zadanie 5.
Wyznaczyć współczynniki szeregu potęgowego
1
a.
=
(1
−
x)
2
1
b.
=
(1
−
x)
3
Zadanie 6.
Pomnożyć szeregi
n=0
∞
n=0
∞
1
c
n
x
n
, podnosząc do kwadratu szereg
=
1
−
x
∞
x
n
,
n=0
b
n
x
n
, mnożąc przez siebie dwa powyższe szeregi.
n=0
∞
2
n
x
n
oraz
n!
∞
n=0
(−1)
n
x
n
. Jaką funkcję reprezentuje ten iloczyn?
n!
Zadanie 7.
Korzystając z definicji funkcji
e
x
wyznaczyć szeregi potęgowe funkcji hiperbolicznych
e
x
+
e
−x
e
x
−
e
−x
cosh
x
:=
oraz
sinh
x
:=
.
2
2
Zadanie 8.
1
Wyznaczyć szeregi potęgowe funkcji
u(x)
:= cosh
x
·
sinh
x
oraz
v(x)
:= sinh 2x.
Nastepnie na podstawie równości
2
u(x)
=
v(x)
porównać wyrazy tych szeregów i wywnioskować tożsamość
n
k=0
2n + 1
2k
= 4
n
.
Zadanie 9.
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, na podstawie wzoru
cosh 2x = 2 sinh
2
x
+ 1
udowodnić tożsamość
n−1
k=0
2n
2k + 1
1
= 4
n
.
2
Zadanie 10.
Jaka tożsamość wynika ze wzoru
cosh 2x = 2 cosh
2
x
−
1?

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin