Zadanie 1.
Rozważ zadanie 1 z poprzedniego zestawu. Preferencje Jasia w które dni można reprezentować racjonalną relacją preferencji (pre-porządkiem zupełnym)?
Zadanie 2.
Dana jest relacja preferencji R będąca porządkiem częściowym (tzn. jest przechodnia, zwrotna i antysymetryczna) w skończonym zbiorze X. Dla dwóch elementów x,yÎX powiemy, że xPy, jeśli xRy i nie yRx. Sformułowano następujące funkcje przyporządkowujące podzbiorom X ich podzbiory, kolejno wybierające:
C1 – elementy największe, tj. C1(Y)={yÎY: "zÎY zachodzi yRz},
C2 – elementy maksymalne, tj. C2(Y)={yÎY: ~$zÎY, że zachodzi zPy},
C3 – elementy preferowane względem największej liczby elementów, tj. C3(Y)={argmaxyÎY #{zÎY: yRz}}.
Uzupełnij tabelę wpisując „tak” lub „nie”.
M
C1(M)
C2(M)
C3(M)
zawsze zwraca jakiś element
wskazuje, co najwyżej jeden element
zawiera się w C1 (tzn. jeśli zwraca jakiś element, to C1 też go zwraca)
tak (z def.)
zawiera się w C2 (tzn. jeśli zwraca jakiś element, to C2 też go zwraca)
zawiera się w C3 (tzn. jeśli zwraca jakiś element, to C3 też go zwraca)
jeśli zwraca kilka elementów (np. x, y), to znaczy, że są równie dobre dla decydenta (czyli xRy i yRx)
Zadanie 3.
Rozważmy zbiór X=R3, zawierający elementy x=(x1,x2,x3). Wprowadźmy 4 relacje – R1, R2, R3, R4. Powiemy, że:
xR1y, jeśli x≥y (czyli x1≥y1, x2≥y2, x3≥y3),
xR2y, jeśli istnieje wektor y* z przestawionymi elementami wektora y, że x≥y*,
xR3y, jeśli x1+x2+x3≥y1+y2+y3,
xR4y, jeśli min(x1,x2,x3)≥min(y1,y2,y3).
(Jeśli elementy X oznaczają bogactwo trzech osób w grupie, to relacje te możemy interpretować: R1 – wolimy rozkład x niż y, jeśli nikomu się nie pogarsza, przy czym osoby są odróżnialne; R2 – wolimy rozkład x niż y, jeśli nikomu się nie pogarsza, przy czym osoby są nieodróżnialne; R3 – wolimy rozkład x niż y, jeśli suma bogactwa jest większa; R4 – wolimy rozkład x niż y, jeśli najgorzej sytuowanej osobie się poprawia.)
Wypełnij tabelę, wstawiając T w komórce (i,j), jeśli z xRiy wynika xRjy, tj. zachodzenie relacji z wiersza dla x i y implikuje zachodzenie relacji z kolumny dla x i y. Wstaw N w pozostałych komórkach tabeli.
Wariant
R1
R2
R3
R4
T
...
chomikSGHowy