Domowe-SzeregiPot.pdf

(63 KB) Pobierz
SZEREGI POTĘGOWE
9. Wyznaczyć promień zbieżności szeregów potęgowych:
∞
a)
n=0
∞
x
n
a
n
;
x
n
a
2n
.
b)
n=0
10. Zbadać zbieżność szeregów:
∞
a)
n=1
∞
x
n
n3
n
.
x
n
√
.
n
b)
n=1
11. Wykazać, że dla
x
∈
R
1
n
x
x
2
x
=1+ +
+
···
;
e
=
n!
1!
2!
n=0
x
∞
(−1)
n
2n+1
x
3
x
5
x
7
x
=
x
−
+
−
+
···
;
sin
x
=
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
cos
x
=
(−1)
n
2n
x
2
x
4
x
6
x
=1
−
+
−
+
···
.
(2n)!
2!
4!
6!
n=0
∞
∞
Wykorzystując równości sinh
x
=
1
(e
x
−
e
−x
), cosh
x
=
1
(e
x
+
e
−x
) wykazać, że dla
x
∈
R
2
2
x
2n+1
x
3
x
5
x
7
sinh
x
=
=
x
+
+
+
+
···
;
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
x
2n
x
2
x
4
x
6
cosh
x
=
=1+
+
+
+
···
.
(2n)!
2!
4!
6!
n=0
12. Korzystając z podstawowych szeregów rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje:
a)
1
1+x
;
2
∞
∞
b)
e
x
;
c) cos
2
x
=
1
(1 + cos 2x);
2
d)
xe
−x
;
e)
f)
1
1−x
2
;
x
1+x−2x
2
.
∞
13. Całkując równość:
1
=
(−1)
n
x
n
1 +
x
n=0
znaleźć rozwinięcie funkcji ln(1 +
x):
x
x
dla
x
∈
(−1, 1).
ln(1 +
x)
=
0
1
dt
=
1+
t
n=0
∞
0
(−1)
n n+1
(−1)
t dt
=
x
n
+1
n=0
n n
∞
dla
x
∈
(−1, 1).
14. Stosując całkowanie bądź różniczkowanie znaleźć rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina.
Podać przedział zbieżności.
1
a)
1
(1−x)
2
;
b) ln(x +
√
1 +
x
2
).
15. Ile wyrazów rozwinięcia funkcji ln(1 +
x)
należy uwzględnić, aby obliczyć ln 1, 5:
a) z dokładnością 0,00001;
b) z dokładnością do 10 miejsc po przecinku.
16. Obliczyć i podać dokładność wyniku:
π/4
a)
π/6
1
cos
x
x
dx
biorąc 3 wyrazy rozwinięcia funkcji podcałkowej w szereg;
b)
0,1
e
x
x
dx
biorąc 6 wyrazów rozwinięcia funkcji podcałkowej w szereg.
17. Obliczyć z dokładnością do 0,001:
π
a)
0
sin
x
x
dx;
0,3
b)
0,1
ln(1+x)
x
dx.
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin