GajewskiA_NiekonserwatywneProblemy.pdf

(498 KB) Pobierz
ANTONI GAJEWSKI
∗
NIEKONSERWATYWNE PROBLEMY STATECZNOŚCI
PŁYT PIERŚCIENIOWYCH
NON-CONSERVATIVE STABILITY PROBLEMS
OF ANNULAR PLATES
Streszczenie
W niniejszym artykule: 1 – zbadano zależności krzywych charakterystycznych (tzn. zależ-
ności części rzeczywistej i części urojonej zespolonej częstości drgań od obciążenia) od
współczynnika
śledzenia
dla pierścieniowej płyty o stałej grubości,
ściskanej
niekonserwa-
tywnymi siłami równomiernie rozłożonymi na brzegu zewnętrznym płyty, w warunkach
nieliniowego pełzania; 2 – wyznaczono zależności obciążenia krytycznego od współczynnika
śledzenia;
3 – zbadano wpływ nieliniowych własności reologicznych materiału płyty na jej
stateczność i drgania. Aby zastosować kinetyczne kryterium stateczności, analizowano małe,
liniowe drgania ukła-du, nałożone na stan przedkrytyczny (stan membranowy) płyty.
Obciążenie krytyczne okreś-lano na podstawie kryterium Lapunowa.
Słowa kluczowe: płyty pierścieniowe, stateczność, drgania, niekonserwatywne zagadnienia
Abstract
In the paper the following problems have been considered: 1 – the dependence of the
characteristic curves (i.e. real and imaginary parts of complex frequencies of vibration versus
the compressive force) on the tangency coefficient for an annular plate of constant thickness,
compressed by uniformly distributed non-conservative loadings; 2 – the relationship between
the critical loading and the tangency coefficient; 3 – the influence of non-linear rheological
properties of material on vibration and stability of the plate. In order to use the kinetic
criterion of stability, the small, linear vibrations superposed on the pre-critical membrane state
have been analyzed. The critical loading has been determined on the basis of Lyapunov
criterion.
Keywords: annular plates, stability, vibration, non-conservative problems
∗
Prof. dr hab. inż. Antoni Gajewski, Instytut Fizyki, Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki
Stosowanej, Politechnika Krakowska.
44
1. Wstęp
1.1. Niekonserwatywne zagadnienia stateczności sprężystych elementów konstrukcyjnych
Stateczność niekonserwatywnych układów sprężystych była rozważana po raz pierwszy
w 1928 r. przez Nikolai [24], który badał skręcanie pręta prostego momentem o kierunku
wektora stycznym do osi nieutwierdzonego końca pręta. Jednak gwałtowny rozwój pro-
blemów niekonserwatywnych nastąpił dopiero po 1952 r., w którym Beck [1] zastosował
kinetyczne kryterium stateczności w odniesieniu do jednostronnie utwierdzonego pręta
pryzmatycznego,
ściskanego
stałą siłą o kierunku stycznym do osi pręta na swobodnym
końcu. Jest to tzw.
siła
śledząca
(tangencjalna), której kierunek zależy od przemieszczeń
(kąta ugięcia osi pręta na swobodnym końcu). Zagadnienie Becka ma istotne znaczenie
ze względu na zastosowania praktyczne, bowiem taki charakter ma stała siła ciągu rakiety
lub stała siła reakcji strumienia płynu wypływającego przez koniec przewodu rurowego.
W tych przypadkach układy sprężyste mogą być niekonserwatywne, nie tylko z powodu
dysypatywności układu lub zależności od czasu działających obciążeń.
Literatura poświęcona problemom stateczności i optymalizacji kształtu prętów
ściska-
nych siłą
śledzącą
jest bardzo obszerna i została szeroko omówiona np. w pracach: Bogacza
i Janiszewskiego [3] (1987), Gajewskiego i
Życzkowskiego
[15] (1988), Przybylskiego
[25] (2002), Elishakoffa [6] (2005) i in. Z punktu widzenia niniejszego artykułu istotne
znaczenie mają uogólnienia wprowadzone przez Kordasa i
Życzkowskiego
[19] (1963), do-
tyczące opisu kierunku
ściskającej
siły niekonserwatywnej, działającej na swobodny koniec
pręta. Autorzy wprowadzili tzw. współczynnik
śledzenia
η
,
który został zdefiniowany jako
stosunek kąta zawartego między kierunkiem siły i kierunkiem nieodkształconej osi pręta do
kąta zawartego między styczną do osi pręta na jego swobodnym końcu i nieodkształconej
osi pręta.
Stosownie do przedziału, w którym leżą wartości współczynnika
śledzenia,
wprowa-
dzono również odpowiednią terminologię dla działającej siły. Tak więc gdy
η <
0
siłę naz-
wano przeciwśledzącą, gdy
η =
0 jest to siła eulerowska, gdy
0
< η <
1
siła jest pod-
śledząca,
gdy
η =
1
siła jest
śledząca
(tangencjalna) oraz gdy
η >
1
siłę nazwano nad-
śledzącą.
Również, w zależności od wartości współczynnika
śledzenia,
mamy do czynienia
z różnymi sposobami utraty stateczności pręta pryzmatycznego: dla
η ≤
0
jest to wy-
boczenie (dywergencja), dla
0
< η <
1
może to być wyboczenie lub flutter, dla
η ≥
1
jest to
zawsze flutter. Po raz pierwszy przedstawiono zależność siły krytycznej od współczynnika
śledzenia
dla pręta pryzmatycznego,
ściskanego
siłą nadśledzącą.
Znacznie mniejsza liczba prac dotyczy problemów stateczności sprężystych płyt pierś-
cieniowych,
ściskanych
równomiernie rozłożonymi na brzegu zewnętrznym siłami
śledzą-
cymi. Po raz pierwszy stateczność i drgania płyt pierścieniowych o zmiennej grubości były
badane w pracy Irie, Yammada i Kaneko [18] (1980). Następnie Gajewski i Cupiał [13]
(1992) przedstawili rozwiązanie problemu optymalizacji grubości sprężystej płyty pierś-
cieniowej, poddanej
ściskaniu
równomiernie rozłożonymi siłami
śledzącymi
działającymi
na jej brzegu zewnętrznym, przy warunku maksymalizacji obciążenia krytycznego i wa-
runku stałej objętości. W pracy tej autorzy uwzględnili także równania stanu przed-
krytycznego.
45
1.2. Niekonserwatywne zagadnienia stateczności i optymalizacji elementów
konstrukcyjnych w warunkach pełzania
Podstawy problematyki optymalnego kształtowania konstrukcji w warunkach pełzania
zostały sformułowane przez
Życzkowskiego
[37] (1996). W przypadku zagadnień nie-
konserwatywnych własności reologiczne materiału są związane z tłumieniem wewnętrz-
nym drgań oraz z odkrytym przez Zoriya i Leonowa [36] (1961) interesującym efektem
destabilizacji. O ile tłumienie zewnętrzne drgań podnosi wartość niekonserwatywnego ob-
ciążenia krytycznego (flutteru), to tłumienie wewnętrzne materiału (nawet nieskończenie
małe) powoduje gwałtowny spadek tego obciążenia. Jak wykazano w pracach Gajewskiego
i
Życzkowskiego
[7,14] (1972), wielkość efektu destabilizacji zależy jednak od stosunku
parametrów charakteryzujących tłumienie zewnętrzne i wewnętrzne, gdy oba te parametry
zmierzają do zera. Przeprowadzone badania eksperymentalne (cf. Yagn, Parshin [34]
(1966), Sugiyama i in. [30,31] (1999, 2000)) wykazują,
że
wartości siły krytycznej dla
układów z tłumieniem wewnętrznym są zbliżone do siły krytycznej obliczonej dla ukła-
dów bez tłumienia. Stąd też pojawiły się pewne nowe kryteria kinetycznej utraty statecz-
ności, związane z przyjęciem określonego wzrostu amplitudy drgań tłumionych (inkre-
mentu amplitudy drgań). Jedno z takich kryteriów zaproponowano w pracy Sugiyamy i in.
[29] (1995).
W wielu pracach badano również wpływ wewnętrznego tłumienia materiału na opty-
malne kształty
ściskanych
prętów, obciążonych siłami
śledzącymi.
Z reguły tłumienie
wewnętrzne materiału było opisywane za pomocą liniowego modelu reologicznego Voig-
ta–Kelvina. Przegląd tych prac zawiera monografia Przybylskiego [25].
Stateczność pryzmatycznych prętów
ściskanych
niekonserwatywną siłą
śledzącą,
wyko-
nanych z materiału wykazującego nieliniowe własności reologiczne, była badana po raz
pierwszy przez
Życzkowskiego
i Kowalskiego [39] (1984). Wpływ nieliniowych własności
reologicznych materiału na tzw.
krzywe charakterystyczne
(zależność części rzeczywistej
i części urojonej zespolonej częstości drgań od wielkości obciążenia
ściskającego)
w przy-
padku pryzmatycznego pręta
ściskanego
siłą
śledzącą
przedstawiono w pracy Gajewskiego
[9] (2000). Uwzględniono w niej wiele dodatkowych efektów, a mianowicie:
ściśliwość
osi
pręta, tłumienie zewnętrzne oraz bezwładność obrotu przekroju poprzecznego.
Próbę optymalizacji sprężystego pręta
ściskanego
siłą niekonserwatywną podjęto po raz
pierwszy w pracy
Życzkowskiego
i Gajewskiego [38] (1969). Ograniczono się jednak do
zakresu siły podśledzącej i przeciwśledzącej, dla których wystarczające jest stosowanie
statycznego kryterium stateczności. Optymalne kształtowanie sprężystego pręta
ściskanego
siłą
śledzącą
(tangencjalną), dla której konieczne jest stosowanie kinetycznego kryterium
stateczności, badano przede wszystkim w pracach Claudona [4] (1975), Hanaoki i Washizu
[17] (1980) oraz Błachuta i Gajewskiego [2] (1980). Wiele innych, pokrewnych zagadnień
omówiono w pracy Bogacza i Janiszewskiego [3]. Z nowszych badań należy wymienić wy-
niki zamieszczone w pracach: Ringertza [28] (1994), Langthjema i Sugiyamy [20, 21, 22]
(1999, 2000) oraz Langthjema, Sugiyamy, Kobayashiego i Yutani [23] (2000).
Z kolei wpływ nieliniowych własności reologicznych materiału na krzywe charaktery-
styczne w przypadku niepryzmatycznego lub optymalnie ukształtowanego pręta
ściskanego
siłą
śledzącą
(tangencjalną) przedstawiono w pracy Gajewskiego [8] (1997). W dalszym
ciągu badania te uogólniono na zagadnienia poszukiwania krzywych charakterystycznych
dla pręta optymalnego w zależności od wartości współczynnika
śledzenia
(Gajewski [10],
46
(2001)). Na tej podstawie otrzymano zależność siły krytycznej od współczynnika
śledzenia
dla wybranych wartości parametrów, charakteryzujących nieliniowe pełzanie materiału.
Stateczności i drganiom płyty pierścieniowej o zmiennej grubości,
ściskanej
równo-
miernie rozłożonymi siłami
śledzącymi,
w warunkach nieliniowego pełzania poświęcona
jest praca Gajewskiego [11] (2002). Podjęto w niej również próbę optymalizacji para-
metrycznej płyty ze względu na stateczność, jednak ograniczono się tylko do przypadku
obciążenia siłą
śledzącą
(tangencjalną:
η =
1
).
1.3. Cel i zakres pracy
Główne cele niniejszego artykułu to: 1 – zbadanie zależności krzywych charaktery-
stycznych od współczynnika
śledzenia
dla pierścieniowej płyty o stałej grubości,
ściskanej
niekonserwatywnymi siłami równomiernie rozłożonymi na brzegu zewnętrznym płyty,
w warunkach nieliniowego pełzania; 2 – wyznaczenie zależności obciążenia krytycznego
od współczynnika
śledzenia;
3 – zbadanie wpływu nieliniowych własności reologicznych
ma-teriału płyty na jej stateczność i drgania. Aby zastosować kinetyczne kryterium statecz-
ności, należy analizować tu małe drgania układu nałożone na stan przedkrytyczny (stan
membranowy) płyty. Jeżeli części rzeczywiste wszystkich zespolonych częstości drgań są
ujemne, to układ jest stateczny (stabilny). Jeżeli część rzeczywista przynajmniej jednej
zespolonej częstości drgań staje się dodatnia, to układ traci stateczność (w sensie asympto-
tycznym – Lapunowa). Gdy równocześnie odpowiednia część urojona zespolonej częstości
drgań jest różna od zera, to drgania układu zmieniają swoje amplitudy z malejących na
rosnące i układ traci stateczność przez tzw. flutter. Zagadnienie brzegowe stanu przed-
krytycznego oraz zagadnienie brzegowe małych drgań układu pozwalają na wyznaczenie
zależności części rzeczywistej i części urojonej zespolonej częstości drgań od wielkości
obciążenia
ściskającego,
czyli wyznaczenie krzywych charakterystycznych. Wszystkie pod-
stawowe równania, wymagane do zrealizowania wymienionych celów, przedstawione zo-
stały w pracy autora [11] (2002). W niniejszym artykule zostaną one zaprezentowane
w skróconej formie.
2. Konstytutywne równania pełzania
Konstytutywne równania nieliniowego pełzania w stanie przedkrytycznym płyty przyj-
miemy (zgodnie z hipotezą Davenporta [5] (1938) zaadaptowaną przez Wróblewskiego
[32] (1992)) w postaci
Φ
(
σ
e
,
ε
c
,
ε
c
)
=
0,
e
e
ε
c
= ε
e
−
e
σ
e
,
E
2
ε
e
=
2
e
ij
e
ij
,
3
2
σ
e
=
3
s
ij
s
ij
2
(1)
gdzie:
ε
c
e
– oznacza intensywność odkształceń niesprężystych,
– intensywność odkształceń całkowitych,
– intensywność naprężeń,
ε
e
σ
e
s
ij
, e
ij
– dewiatory naprężeń i odkształceń.
47
Kropka oznacza różniczkowanie względem czasu, a nadkreślenia nad symbolami oznaczają
wielkości wymiarowe. W celu wyznaczenia krzywych charakterystycznych nałożymy na
stan przedkrytyczny (statyczny) małe wariacje stanu naprężenia i odkształcenia w postaci
opisującej małe, liniowe drgania układu, o zespolonej częstości kołowej, w postaci
a
δε
e
= δε
e
e
Ω
t
,
δσ
e
= δσ
a
e
Ω
t
,
Ω = δ +
i
ω
(2)
Na podstawie równań (1) i (2) wprowadzamy tzw. styczny moduł pełzania, określony
wzorem
⎛ ∂Φ
∂Φ ⎞
⎜Ω
c
+
c
⎟
a
⎜ ∂ε
0
∂ε
0
⎟
δσ
e
δσ
e
e
e
⎝
⎠
E
t
=
=
a
=
δε
e
δε
e
⎛ Ω ∂Φ
1
∂Φ
∂Φ
+
−
⎜
c
c
⎜
E
∂ε
0
E
∂ε
0
∂σ
e
e
e
⎝
⎞
⎟
⎟
0
⎠
(3)
Ma on istotne znaczenie w teorii stateczności w warunkach pełzania, sformułowanej przez
Rabotnowa–Shesterikowa [27] (1957), którą będziemy tu stosowali. Natomiast w stanie
przedkrytycznym zasadniczą rolę odgrywa tzw. sieczny moduł pełzania, zdefiniowany
wzorem
σ
(4)
E
s
=
e
ε
e
i obliczany bezpośrednio z równania (1). Wobec tego można zauważyć,
że
„styczny” mo-
duł pełzania jest wielkością zespoloną, natomiast moduł „sieczny” jest wielkością rze-
czywistą.
W celu wykonania efektywnych obliczeń konieczne jest przyjęcie konkretnego prawa
pełzania. Analogicznie do pracy Wróblewskiego i
Życzkowskiego
[33] (1989) ograni-
czymy nasze rozważania do fizycznego prawa pełzania, zaproponowanego przez Rabot-
nowa [26] (1966)
μ
~
~
Φ
(
σ
,
ε
c
,
ε
c
)
= ε
c
ε
c
− Γσ
n
=
0
(5)
e
e
e
e
( )
e
c
w którym
Γ
,
μ
,
n
są stałymi materiałowymi (na ogół zależnymi od temperatury). W szcze-
gólności wartości stałych materiałowych dla miedzi w temperaturze 200°C zostały podane
w pracy Zhukova i in. [35] (1953) i wynoszą:
n
= 32,8,
μ =
9,52
,
E
0
=
1, 22 10
5
MPa,
Γ =
2,18 10
−
113
+
n
MPa
-n
h
-1
. Na podstawie równań (1), (3), (4) i (5) możemy wyznaczyć
moduł „sieczny” i moduł „styczny”, które zapiszemy w postaci bezwymiarowej
E
s
=
E
s
E
=
(
E
0
E
0
{1
+
E
[(1
+ μ
)
Γ
t
*
]
1/(1
+μ
)
σ
e n
−
1
−μ
) /(1
+μ
)
}
(6)
⎛
1
+ μ
⎞
E
⎜
1
+
t
*
Ω ⎟
μ
⎝
⎠
E
t
=
⎧
1
+ μ
⎫
n
(1
+ μ
)
E
0
⎨
1
+
t
*
Ω +
t
*
Γ
E
[(1
+ μ
)
Γ
t
*
]
−μ
/(1
+μ
)
σ
e
(
n
−
1
−μ
) / (1
+μ
)
⎬
μ
μ
⎩
⎭
(7)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin