Wyprowadzi.docx

Wyprowadzić wzór Laplace’a| RYS | Rozpatrzmy powłokę cienkościenną osiowo-symetryczną podlegającą osiowo symetrycznemu ciśnieniu P. | Rzutując na kierunek normalny do ds1 x ds2: | 2σ2ds1*g*(1/2)*[(ds2)/ρ2]+2σ1ds2*g(1/2)[(ds1)/ρ1]-p*ds1ds2=0/ds1ds2 | σ2/ρ2+σ1/ρ1=p/g | Model reologiczny Kelvina-Voigta | RYS | równoległe połączenie sprężyny i tłumika za pomocą sztywnych łączników | Równanie konstytutywne materiały: | σ=σ1+σ2 | σ=εE+η*ε | Zakładając, że σ=σ0=const całka ogólna przy warunkach początkowych ε=0 dla t=0 ma postać: | εt=(σ0/E )[1-e^(-t/τ)] gdzie τ=η/E |RYS | Wykres ten przedstawia zmiany odkształcenia od czasu ε(t) przypomina kształtem krzywą pełzania. | Model reologiczny Maxwella | RYS | Równanie konstytutywne materiału: | ε=ε1+ε2 | ε=ε1+ε2 | ε2=σ/η | ε1=σ/E | ε1=1E(∂σ/∂t) | Po podstawieniu: | ε=1/E∂σ/∂t+σ/η=1/Eσ+(σ/η) | Analizując równanie dla ε=ε0=const, przyjmując, że naprężenia w chwili σ=0 dla t=0, otrzymujemy: | σt=σ0*e^(-t/τ) | RYS | Czas reakcji: | treakc=τ=η/E | σtreakc=σ0/e | Kumulacja uszkodzeń zmęczeniowych: | RYS | n1/Nf1+n2/Nf2+n3/Nf3+…=1 | ni/Nfi=1 | Zalety hipotezy: | - łatwość stosowania | Wady: | brak uwzględnienia historii selekcji obciążenia | | (ni/Nfi)∈(0,5-10) |Wyprowadzić hipotezę Hubera-Misesa_Hencky’ego | Energia właściwa odkształcenia postaciowego | df=((1+γ)/σE)[σx-σy2+σy-σz2+σz-σx2+σ(τxy2+τyz2+τzx2)] | Dla stanu jednoosiowego: | σx=σ0 | σy=0 | σz=0 | τxy=τyz=τzx=0 | df=(1+γ/σE)[2*σ02] | Jeżeli naprężenia mają być jednakowe: | (1+γ/σE)[2*σ02]=((1+γ)/σE)[σx-σy2+σy-σz2+σz-σx2+σ(τxy2+τyz2+τzx2)] | σ0=12*σx-σy2+σy-σz2+σz-σx2+στxy2+τyz2+τzx21/2 | σzedHMH=σx2+σy2+σz2-σx*σy-σy*σz-σz*σx+3*τxy2+τyz2+τzx2 | Dla płaskiego stanu naprężenia (PSN): | σx≠0 | σy≠0 | σz=0 | τxz=τyz=0 | σzadHMH=σx2+σy2-σx*σy+3*τxy2 | Interpretacja graficzna: | RYS | Przypadki szczególne: | a) czyste ściskanie | σx=0 | σy=0 | τxy=τ | σzedHMH=3τ2 | RYS | b) naprężenia σ i styczne τ | σx=σ | σy=0 | τxy=τ | σzedHMH=σ2+3τ2 | c) hydrostatyczne ściskanie | σx=-σ | σy=-σ | σz=-σ | τxy=τyz=τzx=0 | Wyprowadzić twierdzenie o wzajemności prac i przemieszczeń (tw. Bettiego i Maxwella) | RYS | tw. Bettiego | Rozpatrzmy układ na który działają siły Pj. | Układ obciążony siłami Pi | Siły P wykonują pracę nad odpowiednim im przemieszczeniu Uij | (1/2)*i=1nk=1nPiUii | Jednocześnie siły Pj, zachowują pracę na odpowiednim im przemieszczeniu Ukk | (1/2)*i=1nk=1nPjUji | Teraz układ obciążony siłami Pk | Siły wykonują pracę nad odpowiednim im przemieszczeniem Ukk | (1/2)*k=1nk=1nPkUkk | Dodatkowo siły Pi wykonują prace na przemieszczeniach Uik | (1/2)*i=1nk=1nPiUik | Zaś siły Pj wykonują pracę na przemieszczeniach Ujk | (1/2)*j=1nk=1nPjUjk | Suma prac sił zewnętrznych jest równa przyrostowi energii sprężystej | ∆V1=(1/2)i=1nk=1nPiUii+1/2i=1nk=1nPjUji+1/2k=1nk=1nPkUkk+1/2i=1nk=1nPiUik+(1/2)j=1nk=1nPjUjk | W drugim równaniu mamy kolejność przyłożenia sił: | a) (1/2)i=1nk=1nPiUii | b) (1/2)j=1nk=1nPjUjk | c) (1/2)k=1nk=1nPkUkk | d) (1/2)i=1nk=1n...