Sprawozdanie L3 - MES.doc

Politechnika Częstochowska

Wydział Elektryczny

Sprawozdanie z laboratorium

Wybrane zagadnienie teorii obwodów

Rozwiązywanie wybranych zagadnień polowych
metodą elementów skończonych

              Wykonali:

Sebastian Radomiak

Maciej Lewandowski

Mirosław Szewczyk

Dominik Sitko

Częstochowa 2014

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą elementów skończonych na przykładzie wybranego zagadnienia polowego z zakresu pola przepływowego (przepływu prądu stałego w stanie ustalonym).

2. Zrzut ekranu dla wybranego obszaru obliczeniowego

Obszar obliczeniowy stanowi bryła przewodząca o konduktywności γ w kształcie półkrążka o promieniu a i grubości h. Na rysunku 2.1 przedstawiono zrzut ekranu dla wybranego obszaru obliczeniowego półkrążka o parametrach:

·         potencjału VA = 100 V,

·         prądu I = 1000 A,

·         konduktywności γ = 100 S/m,

·         promieniu a = 0,2 m,

·         grubości h = 0,01 m,

·         połowy rozwartości elektrody B α = 10°,

·         dyskretyzacji tj.: podziale I = 12, podziale J = 1.

Rys. 2.1. Zrzut ekranu dla wybranego obszaru obliczeniowego w kształcie półkrążka

3. Krótki opis metody

Metoda elementów skończonych (MES) polega na poszukiwaniu rozwiązania równania różniczkowego w postaci funkcji kawałkami sklejanej nad „niewielkimi” fragmentami obszaru działania pola (elementami skończonymi). Ogólny tok postępowania w MES jest następujący:

1. Obszar działania pola υ o brzegu S dzieli się na „niewielkie” podobszary (elementy skończone), które aproksymują tenże obszar oraz jego brzeg.

2. Przyjmuje się lokalne funkcje bazowe i na ich podstawie tworzy się globalne funkcje bazowe, zaś jako parametry obiera się wartości funkcji polowej u w ustalonych punktach elementów skończonych.

3. Dla węzłów każdego elementu skończonego układa się równania, które wkomponowuje się w globalny układ równań liniowych ze względu na wartości węzłowe funkcji u.

4. Do układu równań wprowadza się warunki brzegowe, a następnie rozwiązuje się go ze względu na wartości węzłowe u.

Uzyskany w ten sposób zestaw liczb w połączeniu z przyjętymi funkcjami bazowymi poszczególnych elementów skończonych daje rozwiązanie w postaci funkcji sklejanej.

4. Treść zagadnienia

W ćwiczeniu rozpatruje się zagadnienie z zakresu pola przepływowego (przepływ prądu stałego w stanie ustalonym). W środowisku nieprzewodzącym znajduje się bryła przewodząca o konduktywności γ w kształcie półkrążka o promieniu a i grubości h. Do bryły przyłożono dwie elektrody A i B. Potencjał elektrody A jest zadany i wynosi VA = 100 V. Przez drugą elektrodę wypływa I o równomiernej gęstości (jest to prąd płynący przez bryłę). Usytuowanie elektrod i ich wymiary przedstawia rysunek 4.1.

Podczas ćwiczenia wyznaczano:

·         rozkład potencjału elektrycznego V w obszarze bryły,

·         średni potencjał elektrody B VB,

·         napięcie U między elektrodami,

·         moc P wydzielaną w bryle,

·         rezystancję bryły R.

5. Wzory na parametry VB, U, PO, PB, R

Obliczenia średniego potencjału elektrody B dokonano ze wzoru:

                            (1)

gdzie: V1, V2, … VM oznaczają węzły leżące na elektrodzie B, przy czym V1 i VM są węzłami znajdującym się na jej końcach.

Obliczenia napięcia między elektrodami dokonano jako różnicę potencjałów elektrod ze wzoru:

              .              (2)

Moc wydzielaną w bryle obliczono ze wzoru:

                            (3)

Moc jako wielkość wnikająca do bryły przez jej powierzchnię brzegową obliczono ze wzoru:

              .              (4)

Rezystancję płytki obliczono ze wzoru:

              .              (5)

5. Badane przypadki półkrążka – wyniki pomiarów

I.         Badanie wpływu kąta rozwarcia elektrod: zmieniano kąt α od 10° do 80° co 10°; przyjmowano I = 12, J = 1.

Na rysunkach od 5.1 do 5.8 przedstawiono uzyskane wyniki zmieniając kąt α od 10° do 80° co 10° i przyjmując dyskretyzację I = 12, J = 1.

Rys. 5.1 Wyniki dla kąta α = 10° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.2 Wyniki dla kąta α = 20° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.3 Wyniki dla kąta α = 30° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.4 Wyniki dla kąta α = 40° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.5 Wyniki dla kąta α = 50° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.6 Wyniki dla kąta α = 60° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.7 Wyniki dla kąta α = 70° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.8 Wyniki dla kąta α = 80° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

W tablicy 5.1 zestawiono uzyskane wyniki dla rozważanych przypadków.