Wykład 1.doc

Nieliniowe zagadnienia optymalizacyjne

Programem nieliniowym nazywamy zadanie o postaci:

gdzie przynajmniej jedna z funkcji f lub gi nie jest funkcją liniową, przy czym zakłada się, że funkcje f lub gi są ciągłe.

Nie ma ogólnej metody rozwiązywania programów nieliniowych.

Metoda rozwiązywania zależy od postaci, jaką przyjmuje zadanie.

Funkcja celu: wklęsła lub wypukła (z reguły zakłada się, że jest wypukła tzw. programowanie wypukłe).

Wyróżniamy programy o postaci:

·          kanonicznej (warunki ograniczające mają postać równości)

·          standardowej (wszystkie warunki ograniczające w postaci nierówności)

Metody optymalizacji

Rozpatrywane będą jednowskaźnikowe zadania programowania, przy czym elementy zbioru rozwiązań dopuszczalnych należą do przestrzeni skończenie wymiarowej Rn. Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu takiego wektora należącego do zbioru , że dla każdego x  należącego do zbioru X0, f () £ f (x). W zadaniu tym X0, jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych, f : Rn ® R1 jest funkcją celu, g: Rn ® i h:  Rn ® są wektorowymi funkcjami ograniczeń.

Jeden ze sposobów podziału zadań programowania:

a)  programowanie liniowe - jeśli funkcje f , g i h są liniowe, a więc
                                                        f (x) = ác, xñ
oraz
                                          [ g (x)T, h (x)T]T = Ax - b,
gdzie wektory c Î Rn, b Î Rm oraz macierz A o wymiarach m ´ n są znane.

b)  programowanie nieliniowe - jeśli co najmniej jedna z funkcji f , g bądź h jest nieliniowa.

              Wśród wymienionych wyżej typów zadań, za podstawowe zadanie programowania należy uznać ciągłe deterministyczne zadanie programowania nieliniowego o postaci:

znaleźć takie, że

f () = ,

gdzie

,

przy czym

f : Rn ® R1, g: Rn ® , h: Rn ® .

Zadanie programowania nieliniowego z ograniczeniami równościowymi

              Dla zadania programowania nieliniowego utwórzmy funkcję Lagrange’a, a mianowicie

              Warunki konieczne można zapisać w postaci

Zadanie 1

Trzy elektrownie należące do jednego koncernu energetycznego zasilają węzeł sieciowy (GPZ Główny Punkt Zasilający). Chwilowe zapotrzebowanie na moc w GPZ wynosi

350 MW przy cosj=0,8. Zakładając, że każda elektrownia może pokryć powyższe zapotrzebowanie, wyznaczyć wartości mocy dosłanych do węzła GPZ z elektrowni E1, E2 i E3, minimalizujących straty mocy czynnej w sieci przesyłowej. Dane linii przesyłowych:

L1: E1-GPZ               Un=110 kV, l1=84 km, S1=240 mm2, g=35 MS/m,

L2: E2-GPZ               Un=110 kV, l2=84 km, S2=120 mm2, g=35 MS/m,

L3: E3-GPZ               Un=110 kV, l3=136,5 km, S3=525 mm2, g=35 MS/m

Zadanie 2

Założenia jak w zadaniu 1

Uwzględnić dodatkowo ograniczenia związane z dopuszczalnymi długotrwale obciążalnościami linii napowietrznych.

Zadanie 3

W stacji transformatorowej 15/0,4 kV/kV zainstalowane są trzy transformatory:

T1: SNT1=400 kVA, DPj=1,3 kW, DPobc N=4,800 kW , i0%=1%, Duz%=4 %

T2: SNT2=630 kVA, DPj=1,8 kW, DPobc N=7,938 kW , i0%=1%, Duz%=4,5%

T3: SNT3=1000 kVA, DPj=2,6 kW, DPobc N=15,000 kW , i0%=1%, Duz%=6%

Dla chwilowego obciążenia w stacji po stronie 0,4 kV Pobc= 1,62 MW przy cosj=0,9 wyznaczyć obciążenie każdego z transformatorów przy założeniu minimum strat mocy czynnej w transformatorach. Uwzględnić straty mocy czynnej na dosłanie mocy biernej indukcyjnej do transformatora.