Ściskanie i rozciąganie prętów.pdf

(361 KB) Pobierz
2.Wytrzymałość materiałów
2.1
Ściskanie
i rozciąganie prętów
2.1.1
Obliczyć o ile wydłuży się pod własnym ciężarem pręt o długości
l,
jeżeli wykonany jest z
aluminium o gęstości
ρ
= 2,6
g/cm
3
i module Younga
E
= 64 MPa.
x
2.1.2
Dla prętów pokazanych na rysunkach obliczyć wydłużenie całkowite. Dla przypadku C)
wyznaczyć również przemieszczenia punktów A i B. Moduł Younga dla wszystkich prętów
przyjąć równy
E.
Dane:
F, E, d ,a ,l
A)
B)
y
φ1,5d
l
l
φ1,5d
φ2d
F
x
dx
l
φ2d
2F
l
F
l
l/2
C)
φ3a
φ2a
l
l/2
l
φ3a
F
A
B
F
2F
l
2.1.3
Obustronnie utwierdzony pręt o przekroju kołowym (przedstawiony na rysunku) oziębiono o
∆
t°C.
Obliczyć reakcje
ścian
oraz naprężenia w prętach, jeżeli liniowy współczynnik
rozszerzalności wynosi
α
, a moduł Younga jest równy
E.
Pręt dodatkowo obciążono siłą
7P
zaznaczoną na rysunku.
(Termiczne wydłużenie liniowe opisuje zależność
∆
l=
α∆
tl)
l
l
2.1.4
Obustronnie utwierdzony pręt o przekroju kołowym (przedstawiony na rysunku) obciążono
siłą
Q
a następnie ogrzano. Obliczyć o ile ogrzano ten pręt, rekcję
R
2
a także naprężenia w
prętach, jeżeli reakcja jednej ze
ścian
po ogrzaniu wynosi
2Q;
liniowy współczynnik
l
l
φ2d
R
1
=?
φd
7P
R
2
=?
φ1,5a
R
1
=2Q
rozszerzalności jest równy
α
, Moduł Younga dla pręta przyjąć równy
E.
2.1.5
Pręt o przekroju kołowym obciążony jest siłami
P
i
2P
jak przedstawiono na rysunku.
Wyznaczyć reakcję
ścian.
Szerokość szczeliny wynosi
δ
a moduł Younga dla materiału z
którego wykonany jest pręt
E.
L
L
L
φ2d
2.1.6
Filar mostu w całości ma być zanurzony w wodzie. Jak musi się zmieniać przekrój
poprzeczny tego filaru wykonanego z betonu o gęstości
ρ,
aby naprężenia w dowolnym
przekroju były równe wytrzymałości betonu na
ściskanie
k
c
. Przyjąć
że
górna powierzchnia
filaru obciążona jest równomiernie naciskiem powierzchniowym
q = k
c
a jej pole wynosi
S
0
.
φd
2P
φa
Q
R
2
=?
P
δ
2.1 Zginanie belek
2.2.1
Dla belek przedstawionych na rysunkach sporządzić wykresy siły tnącej (T) oraz momentu
gnącego (M
g
)
a)
2F
2a
A
a
3a
B
F
b)
F
A
M = 2Fa
B
a
2a
3a
c)
q
M = 0,5qa
2
M = 0,5qa
2
A
B
a
2a
a
2.2.2
W celu zbadania wpływu naprężeń na własności magnetyczne ciał stosuje się próbki w
kształcie pasków materiału o przekroju prostokątnym w układzie jak na rysunku. Jaką wartość
muszą mieć siły
F
aby zbadać próbkę w zakresie do granicy plastyczności (200MPa), jeżeli
próbki mają długość
L
= 9 cm, szerokość
b
= 1 cm i grubość
h
= 0,3 mm. W jakim obszarze
można przeprowadzać badania.
F
F
l/3
l/3
l/3
2.2.3
Jak długi pręt o masie całkowitej
m
(o przekroju kołowym) można wykonać z materiału o
gęstości
ρ
,
aby pręt ten po ułożeniu go poziomo i podparciu jego końców nie uległ
zniszczeniu pod własnym ciężarem. Naprężenie maksymalne na zginanie materiału pręta
wynosi
k
g
. Wskaźnik wytrzymałości przekroju porzecznego belki na zginanie dla belki o
przekroju kołowym wynosi
W
=
π
R
3
/4
2.2.4
Zaprojektuj belkę o przekroju prostokątnym, przy założeniu stałej jej grubości
h
= const, jako
belkę o równomiernej wytrzymałości na rozciąganie. Obliczenia wykonaj dla obciążenia
przedstawionego na rysunku.
F
A
B
h
l
l
R
B
=F/2
R
A
=F/2
2.2.5
Po belce o długości
l
podpartej na obu końcach może przemieszczać się człowiek o ciężarze
G.
Wyznaczyć wymaganą grubość belki o przekroju kwadratowym aby człowiek nie
spowodował zniszczenia belki, jeżeli naprężenie dopuszczalne na zginanie wynosi
k
g
2.2.6
Wyznaczyć maksymalną wartość naprężeń rozciągających w belce suwnicy przedstawionej
na rysunku, jeżeli wskaźnik wytrzymałości przekroju porzecznego belki na zginanie wynosi
W.
Q
Q
B
A
x
R
A
d
l
R
B
Rozwiązania:
2.1.1.R
Rozpatrzmy wydłużenie elementu pręta o długości
dx
znajdującego się w odległości
x
od
dolnego końca pręta. Element ten jest rozciągany siłą równą co do wartości ciężarowi pręta
znajdującego się poniżej tego elementu.
F
(
x
)
=
m
(
x
)
g
=
ρ
S x g
Z prawa Hooke’a otrzymujemy:
ρ
S xg
ρ
xg
F
(
x
)
F
(
x
)
∆
dx
=
dx
,
dx
=
dx
=
E
⇒ ∆
dx
=
E
SE
SE
S
dx
Aby wyznaczyć całkowite wydłużenie pręta musimy zsumować (scałkować) wydłużenia
wszystkich elementów dx.
∆
l
=
∫
∆
dx
=
∫
0
0
l
l
ρ
xg
E
dx
=
ρ
g
l
E
∫
xdx
=
0
ρ
gl
2
2
E
Odpowiedź: całkowite wydłużenie pręta wyniesie:
∆
l
=
2.1.2.R
A)
Reakcję
ściany
wyznaczamy z zależności:
R
−
F
=
0
⇒
R
=
F
ρ
gl
2
2
E
≈
0,2mm
Korzystając z prawa Hooke’a otrzymujemy:
σ
=
ε
E
⇒
∆
l
=
Fl
ES
F
∆
l
=
E
S
l
Wydłużenie całkowite jest sumą wydłużeń obu prętów:
∆
l
= ∆
l
1
+ ∆
l
2
= −
∆
l
= −
Fl
Fl
9
−
, gdzie
S
1
=
π
d
2
,
S
2
=
π
d
2
ES
1
ES
2
16
25
Fl
(pręt jest
ściskany)
2
9
π
d E
B)
Reakcję
ściany
wyznaczamy z zależności:
R
+
2
F
−
F
=
0
⇒
R
= −
F
(
F
−
2
F
)
l
Fl
Fl
∆
l
= ∆
l
1
+ ∆
l
2
+ ∆
l
3
=
+
+
,
ES
1
2
ES
2
ES
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin